Najważniejszym bodaj zagadnieniem z zakresu dydaktyki matematyki w klasach wyższych szkół średnich, jakie praktyka szkolna obecnie wysuwa, jest kwestja wprowadzenia pojęcia granicy. Kwestja ta nie była dotychczas prawie zupełnie omawiana w naszej literaturze dydaktycznej, lecz nie ulega wątpliwości, że oświetlenie jej i dyskusja może w pewnej mierze przyczynić się do racjonalnego nauczania tego działu matematyki szkolnej. Zapoczątkowanie takiej dyskusji jest celem referatu.
Przedewszystkiem nasuwa się pytanie, jaką rolę należy przyznać pojęciu granicy w całokształcie materjału szkolnego i w jakim zakresie mają być opracowane zastosowania tego pojęcia. Następnie ważną jest sprawa metody nauczania tego działu i w związku z tem kwestja pogodzenia wymagań poprawności logicznej z warunkami dostępności dla umysłu ucznia.
Jak wiadomo, już niektóre najprostsze zagadnienia matematyki szkolnej wymagają stosowania pojęcia granicy. Z drugiej strony ma to pojęcie olbrzymie zastosowanie w wszystkich dziedzinach matematyki i nauk ścisłych. Pozatem posiada pojęcie granicy ogromną wartość kształcącą, gdyż w dużym stopniu rozwija zdolność do abstrakcyjnego myślenia. Względy te przemawiają za poświęceniem szczególnej uwagi tak samemu pojęciu granicy, jak i jego zastosowaniom. W programie gimn. państwowego pojęcie granicy wraz z zastosowaniami tworzy część kursu kl. VII. Sądzę, że ścisłe opracowanie tego działu w klasie VII winno poprzedzać opracowanie propedeutyczne w kl. VI, gdyż uczeń, znający już pewne zastosowania pojęcia granicy, lepiej oceni konieczność ścisłej definicji i wartość ścisłego dowodzenia. Za propedeutycznem opracowaniem w kl. VI, przemawia również ten wzgląd, że niektóre tematy z matematyki lub fizyki (jak np. pojęcie prędkości) w kl. VI wymagają przynajmniej intuicyjnego zrozumienia pojęcia granicy. Jeżeli chodzi o zastosowania pojęcia granicy, to program wymienia następujące tematy: postęp geometryczny nieskończony, pomiar koła, objętość ostrosłupa, pomiar brył obrotowych. Nie znajdujemy natomiast w programie zastosowania pojęcia granicy do zagadnienia styczności. Zagadnienie to jednak, które posiada pierwszorzędne znaczenie w dziejach rozwoju nauk matematycznych, winno być opracowane w gimnazjum. Zagadnienia takie, jak obliczenie objętości ostrosłupa jako granicy sumy objętości graniastosłupów, winny być tak opracowane, aby uczeń mógł sobie należycie uświadomić myśl przewodnią rozumowania, prowadzącego drogą uogólnienia do pojęcia całki. Przy omawianiu szeregów nieskończonych nie należy poprzestać jedynie na szeregach geometrycznych, ale należy również opracować kilka pouczających przykładów szeregów niegeometrycznych. W gimnazjach matem.-przyrodniczych możnaby się nawet posunąć aż do wyprowadzenia kryterjów zbieżności d’Alembert’a i Cauchy’ego. Kwestję wprowadzenia do klas wyższych gimnazjum elementów rachunku różniczkowego i całkowego uważam za drugorzędną z punktu widzenia ogólnych celów nauczania. Natomiast od szkoły średniej musimy bezwarunkowo się domagać, aby ucznia przynajmniej przygotowała do zrozumienia odnośnych pojęć i zagadnień rachunku nie- skończonościowego, co da się osiągnąć przez odpowiedni wybór materjału nauczania z dziedziny zastosowań pojęcia granicy i staranne opracowanie tematów, mających bliski związek z podstawowemi zagadnieniami rachunku różniczkowego i całkowego. W każdym razie należałoby się zastanowić, czyby nie było jednak pożytecznem włączyć elementy rachunku nieskończonościowego do programu. Zaznaczyć należy, że na Zachodzie rachunki t. zw. wyższe niemal wszędzie są objęte programem matematyki i niekiedy przerabiane są w bardzo szerokim zakresie.
Przy wprowadzeniu pojęcia granicy występuje trudność bardzo poważna natury dydaktycznej zaraz na początku, bo już przy definicji granicy ciągu nieskończonego. Definicji tej nie można drogą heurezy wydobyć od ucznia, lecz musi ona być przez nauczyciela odrazu narzucona i następnie dopiero przy czynnym udziale klasy analizowana. Jest tedy ważnem zadaniem nauczyciela uprzednio przygotować uczniów do zrozumienia nowego pojęcia, a to zapomocą odpowiednio dobranych zadań i ćwiczeń. Jest bardzo pożytecznem przed podaniem definicji granicy ciągu zaznajomić uczniów z terminem: „prawie wszystkie wyrazy”, wprowadzonym przez G. Kowalewskiego; zwrot ten ogromnie upraszcza wysłowienie i ułatwia zrozumienie tej definicji. Określanie granicy ciągu przy pomocy pojęcia miejsca skupienia uważam za niewskazane w szkole średniej. Definicja granicy winna być podana w szacie arytmetycznej i następnie interpretowana geometrycznie. Dowody twierdzeń z teorji granic muszą być przeprowadzone zupełnie ściśle. Racjonalne nauczanie omawianego działu matematyki wymaga szczególnie starannego doboru zadań, przerabianych w klasie i zadawanych uczniom do domu. Wchodzą tu w rachubę dwa rodzaje zagadnień, a mianowicie zadania na zastosowanie pojęcia granicy do algebry, geometrji, trygonometrji, geometrji analitycznej i zadania o charakterze teoretycznym; zadań tej drugiej kategorji nie można zupełnie pominąć w szkole średniej, służyć mają one do należytego ugruntowania i pogłębienia pojęcia granicy.
Program ministerjalny przewiduje opracowanie w kl. VII prócz pojęcia granicy jeszcze trygonometrji i znacznej części stereometrji. Niewielka stosunkowo ilość godzin, jaką można w tych warunkach poświęcić pojęciu granicy nie pozwala na należyte pogłębienie strony teoretycznej ani na gruntowniejsze opracowanie zastosowań. Celem uzyskania czasu potrzebnego na opracowanie pojęcia granicy w myśl postulatów wyżej przytoczonych, należałoby niektóre punkty programu kl. VII przesunąć do kl. VI. Taka modyfikacja programu dałaby się przeprowadzić nawet bez konieczności powiększenia ilości materjału naukowego w kl. VI, gdyby zgodzić się na mniej szczegółowe niż dotychczas opracowanie teorji trójmianu w kl. VI. A sądzę, że w naszych gimnazjach poświęcamy zbyt dużo miejsca teorji trójmianu i że to dzieje się ze szkodą dla innych działów matematyki, bardziej może pouczających i interesujących.
Stefan Banach (Lwów): O pojęciu granicy. Ob. Rachunek różniczkowy i całkowy t. I, rozdz. I, Lwów 1929.
Antoni Rusiecki (Warszawa): O nauczaniu przybliżeń dziesiętnych w szkole średniej.