Celem niniejszego referatu jest zwrócenie uwagi na pewien sposób wykładu geometrycznej teorji proporcji, przewidzianej w punkcie czwartym programu geometrji dla klasy piątej gimnazjum humanistycznego i matematyczno-przyrodniczego. Według programu należy podać deﬁnicję „odcinków proporcjonalnych jako odcinków wyznaczonych na ramionach kąta przez pęk prostych równoległych”. Teorja proporcji oparta na tej deﬁnicji zależna jest od twierdzenia Desargues’a dla trójkątów o bokach odpowiednio równoległych. Dlatego też punktem trzecim programu, poprzedzającym proporcjonalność odcinków, jest ustęp o względnem położeniu prostych i płaszczyzn w przestrzeni, zawierający wspomniany przypadek szczególny twierdzenia Desargues’a (którego dowód, jak wiadomo, łatwiej przeprowadzić opierając się na twierdzeniach stereometrycznych). Przerobienie tego ustępu stereometrji w klasie piątej nastręcza jednak znaczne trudności i wymaga takiej ilości lekcyj, że w praktyce nie starczy czasu na teorję proporcji. Jeżeli się chce wyzyskać wartości kształcące nauki pierwszych rozdziałów stereometrji, należy ją zdaniem mojem przesunąć do klasy szóstej. W tej klasie można już bowiem wprowadzić pojęcie dowodu zupełnego, do czego znakomicie nadają się dowody twierdzeń o wzajemnem położeniu prostych i płaszczyzn. Należy więc usunąć z klasy piątej twierdzenie Desargues’a, a zatem obrać inną deﬁnicję proporcjonalności odcinków jako punkt wyjścia geometrycznej teorji proporcji. Uważam, że można zastosować z korzyścią wykład teorji proporcji, który podał za Hilbertem (Grundlagen der Geometrie, IV Auﬂ. 1913, rozdział III.) w formie uproszczonej B. Levi (Porówn.: Zagadnienia dotyczące geometrji elementarnej zebrał i ułożył F. Enriques, tom I. Krytyka podstaw. Z drugiego wyd. włoskiego przełożyli St. Kwietniewski i Wł. Wojtowicz, Warszawa 1914, str. 214 oraz: F. Enriques i U. Amaldi, Zasady geometrji elementarnej do użytku szkół średnich przełożył Wł. Wojtowicz, Warszawa 1916, str. 200.).

Podaję niżej szkic tej teorji z pewnemi drobnemi i nieistotnemi zmianami, podyktowanemi jednak względami dydaktycznemi, zaznaczając, że stosowałem ją kilkakrotnie z dobremi wynikami.

1 Deﬁnicja. Para odcinków $a$ , $b$ jest proporcjonalna do pary odcinków $c$ , $d$ to znaczy, że kąt leżący naprzeciw $a$ w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a$ , $b$ jest równy kątowi leżącemu naprzeciw $c$ w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $c$ , $d$ .

Wprowadza się oznaczenie:

a : b = c : d

i terminy: proporcja, wyrazy skrajne etc.

1 Lemat. Jeżeli przekątne czworoboku wpisanego przecinają się pod kątem prostym w punkcie, który dzieli jedną na odcinki $a, d$ a drugą na odcinki $b, c$ , to

a : b = c : d i a : c = b : d .

W dowodzie należy powołać się na równość kątów wpisanych i na deﬁnicję proporcji.

Dowód. Niech proste $p$ i $r$ przecinają się pod kątem prostym w punkcie $O$ . Na prostej $p$ obieramy punkt $1$ a na prostej $r$ punkty $B$ i $C$ po przeciwnych stronach punktu $0$ tak aby $O A = a$ , $O B = b$ , $O C = c$ .

Okrąg, przechodzący przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , przecina prostą $p$ w drugim punkcie $X$ takim, że $O X = x$ . Z lematu 1 wynika:

\begin{align} a : b & = e : x i & (1) \\ a : c & = b : x & (2) \end{align}

Z założenia i z (1) wynika (tw. 5):

x = d

(3)

z (2) i (3) wynika teza. □

Dowód. Niech $0$ będzie wierzchołkiem kąta prostego. Na jednem ramieniu tego kąta obieramy punkty $A$ i $B$ a na drugiem punkt $C$ tak, aby $O A = a$ . $O B = a + b$ , $O C = c$ . Przez $B$ prowawadzimy równoległą do $A C$ , przecinającą $O C$ w punkcie $X$ . Przez $A$ prowadzimy równoległą do $O C$ , przecinającą $B X$ w punkcie $E$ . Niech $A E = x$ zatem $C X = x$ . Mamy proporcje:

\begin{align} a : c & = b : x & (4) \\ (a + b) : (c + x) & = a : c . & (5) \end{align}

Z założenia wynika:

a : c = b : d .

(6)

Z (5) i (6) wynika:

x = d .

(7)

Z (5) i (7) wynika teza. □

2 Lemat. Jeżeli $r$ i $r^{'}$ oznaczają promienie kół wpisanych odpowiednio w trójkąty $A B C$ i $A^{'} B^{'} C^{'}$ i jeżeli $∡ A = ∡ A^{'}$ i $∡ B = ∡ B^{'}$ to $A B : A^{'} B^{'} = r : r^{'}$ .

Dowód. Oznaczmy środki kół wpisanych odpowiednio przez $O$ i $O^{'}$ a punkty styczności boków $A B$ i $A^{'} B^{'}$ przez $D$ i $D^{'}$ . Niech $A D = p$ , $A^{'} D^{'} = p^{'}$ , $B D = q$ , $B^{'} D^{'} = q^{'}$ . Z trójkątów $O A D$ i $O^{'} A^{'} D^{'}$ oraz $O B D$ i $O^{'} B^{'} D^{'}$ mamy:

\begin{array}{l} p : r & = p^{'} : r^{'} i q : r = q^{'} : r^{'} \\ stąd p : p^{'} & = r : r^{'} i q : q^{'} = r : r^{'} \end{array}

stosując twierdzenie 8 otrzymamy tezę. □

9 Twierdzenie. Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są równe odpowiednim kątom drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

Twierdzenie Talesa jest wnioskiem z twierdzenia 9. Dalsze twierdzenia teorji proporcji i podobieństwa trójkątów wyprowadza się jak zwykle.

Na zakończenie pozwalam sobie dodać, że uważam, iż geometryczna teorja proporcji nadaje się szczególnie do „wdrożenia ucznia do ścisłego rozumowania dedukcyjnego”, co według programu jest pierwszym z celów nauczania matematyki w szkole średniej.

Szymon Ohrenstein (Drohobycz), Teorja proporcji w klasie piątej gimnazjum humanistycznego i matematyczno-przyrodniczego