Otton Nikodym (Kraków), O nauczaniu nierówności w wyższych klasach szkoły średniej

Celem nauczania matematyki w wyższem gimnazjum jest stopniowe wprowadzenie ucznia w świat myślenia pojęciowego. W szczególności, należy uczniów przyzwyczaić do porządnej dedukcji. Nie znaczy to, by wszystkie twierdzenia należało porządnie w szkole udawadniać; na to niema czasu, – zresztą niektóre dowody byłyby za trudne. Dużo twierdzeń musi się często podać bez dowodu a tylko niektóre, mianowicie dające się łatwo i prosto udowodnić, należy poprzeć odnośnym, dobrze przemyślanym dowodem. Tzw. pseudo-dowody, od których roją się podręczniki szkolne – są bardzo szkodliwe, gdyż hamują rozwój umysłowy ucznia.

Poniżej wskażę dziedzinę, w której można bardzo porządne dowody podać uczniom – co więcej, można ją przedstawić w postaci aksjomatycznej i to nawet na dość niskim poziomie rozwoju umysłowego uczniów: w klasie IV^tej gimnazjalnej.

Że tak jest istotnie, miałem sposobność przekonać się doświadczalnie, uzyskując u przeszło 70% uczniów zupełnie wystarczające zrozumienie rzeczy.

Dziedziną tą jest teorja nierówności, przez co rozumiem teorję związków mających postać $a<b$, $b>a$, a rozpatrywaną w zakresie liczb względnych ułamkowych (które oprócz liczb ułamkowych dodatnich i ujemnych, obejmują też liczbę $0$).

Zanim przystąpię do wyłożenia właściwej rzeczy, muszę podać, jakie wiadomości i dyspozycje uczniowie muszą posiadać, by można było przystąpić do uczenia teorji nierówności poniżej przedstawioną metodą.

Zakładam, że oprócz rozumienia istoty czterech działań na liczbach względnych ułamkowych, uczniowie znają i umieją stosować zasadnicze prawidła przekształcania wyrażeń arytmetycznych (w omawianym zakresie liczb). Dla wyjaśnienia nadmieniam, że przekształcić wyrażenie dane znaczy napisać nowe wyrażenie o tej samej wartości. Oto główne prawidła przekształceń: prawidło opuszczania nawiasów, przemienności wyrazów w wielomianie, mnożenia wielomianu przez wielomian, redukcji wyrazów podobnych, redukcji ułamków o równych mianownikach.

Po drugie zakładam, że uczniowie znają zasadnicze twierdzenia o równościach prawdziwych. Np. Jeżeli w równości prawdziwej przekształcimy jedną lub obie strony, wówczas nowa, otrzymana równość będzie także prawdziwą. Pozostałe twierdzenia dotyczą dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia obu stron nierówności prawdziwej przez jednę i tę samę liczbę (względnie przez wyrażenia, mające równe wartości).

Po trzecie zakładam znajomość praw formalnych, rządzących równością: symetrja, zwrotność, przechodniość.

Co do dyspozycyj logicznych, zakładam, że uczniowie udowadniali już twierdzenia geometryczne (nawet tzw. „oczywiste”), że wiedzą, co to jest założenie a co teza. Zakładam, że wiedzą, co to znaczy oprzeć się na jakiemś twierdzeniu; dalej, że wiedzą, iż nie wolno oprzeć się na twierdzeniu, które nie było wykazane lub wyraźnie przyjęte bez dowodu. Zakładam dalej, że wiedzą, iż definicja słowa, znaku lub zespołu znaków jest to umowa (a nie zaś jakiś opis pojęcia za pośrednictwem genus proximum i differentia specifica.) dotycząca znaczenia tego znaku lub zespołu znaków. W końcu zakładam, że uczniowie umieją poprawnie zastosować wyżej podane ogólne twierdzenia arytmetyczne do przykładów szczególnych.

Metoda uczenia nie ma polegać na wykładzie lecz na rozmowie z uczniami, którzy powinni być przyzwyczajeni do swobodnego wypowiadania się, do interpelacji, do zapytania się o każdy niejasny dla nich szczegół. Nauczyciel wstrzymuje się zupełnie od klasyfikacji w czasie przerabiania nowej lekcji, mówi powoli, wyraźnie i nie za wiele, jest cierpliwy i nigdy nie gniewa się na ucznia, gdy odpowie źle lub niedorzecznie: raczej dyskutuje z nim.

Jeszcze jedna uwaga: żadne tzw. liczby „ogólne” nie istnieją (w nauce szkolnej) podobnie jak niema żadnych „ogólnych” punktów w przestrzeni; wszystkie liczby są szczególne jakkolwiek mogą być oznaczone literami.

Obecnie przystępuję do rzeczy właściwej, którą przedstawię w szkicu, używając takiego (mniejwięcej) języka, jakim należy przemawiać do uczniów. Jasną jest rzeczą, że wszystko, co nastąpi, powinno być opracowane szczegółowo i rozszerzone pytaniami ćwiczebnemi. – Teorja zajmie dwa do trzech tygodni czasu, licząc 3–4 godziny tygodniowo.

Dotychczas używaliśmy liter na oznaczenie liczb. Obecnie umówmy się oznaczać literami też wyrażenia arytmetyczne, mające wartość. Np. wyrażenie $3-2\cdot \frac{1}{2}+7$, będziemy mogli, gdy tylko zechcemy, oznaczyć jakąś literę np. $a$. Natomiast $\frac{1}{0}$ nie będziemy oznaczali żadną literą, gdyż forma ta nie ma żadnej wartości Ta sama litera oznaczać będzie jednakie wyrażenie; różne litery – różne lub jednakie wyrażenia. Umówmy się mówić, że wyrażenie jest dodatnie, jeżeli wartość jego jest dodatnia; że jest ujemne, jeżeli wartość jego jest ujemna. Aby zaznaczyć, że wyrażenie $a$ jest dodatnie, umówmy się pisać $a$ dod.; aby zaznaczyć, że $b$ jest ujemne, umówmy się pisać $b$ uj $-a$ dod., $b$ uj. są to zdania, które mogą być prawdziwe albo fałszywe.

Jesteśmy przekonani, że

I.

jeżeli $a$ dod., $a=a^{\prime }$ wówczas $a^{\prime }$ dod.

II.

jeżeli $a$ uj., $a=a^{\prime }$, wówczas $a^{\prime }$ uj.

III.

jeżeli $a$ dod., wówczas $-a$ uj.

IV.

jeżeli $a$ uj., wówczas $-a$ dod.

V.

jeżeli $a$ dod. oraz $b$ dod., wówczas $a+b$ dod.

VI.

jeżeli $a$ dod. oraz $b$ dod., wówczas $a.b$ dod.

VII.

jeżeli $a$ dod., wówczas $\frac{1}{a}$ dod.

VIII.

O każdem wyrażeniu $a$ (mającem wartość) można powiedzieć że zawsze zachodzi jedna ale tylko jedna z trzech możliwości :

$$\mathrm{\text{1)}}a\text{ dod.}\mathrm{\text{2)}}a\text{ uj.}\mathrm{\text{3)}}a=0.$$

(Twierdzenia te należy wyjaśnić uczniom dokładnie na przykładach, by uzyskać przekonanie o prawdziwości twierdzeń. Ponadto należy owe twierdzenia wyrazić dodatkowo w postaci następującej: np. gdybyśmy przypuścili, że pewne wyrażenie $a$ jest dodatnie, tobyśmy mieli prawo wywnioskować, że $-a$ jest ujemne. Np. gdyby $-3+1$ było dodatnie, toby $-\left(-3+1\right)$ było ujemne. Zaznaczam, że oswojenie ucznia z wyciąganiem wniosków z przypuszczeń, nawet fałszywych, jest niezmiernie ważne dla wszystkich dowodów »nie wprost«. Wielką staranność należy poświęcić twierdzeniu VIII., które orzeka właściwie dwie rzeczy 1) że przynajmniej jedna z ewentualności zajść musi 2) że nigdy dwie równocześnie zajść nie mogą.)

Przypomnijmy sobie znane twierdzenia o równościach (równaniach) prawdziwych, oraz znane twierdzenia o przekształceniu wyrażeń w zakresie liczb względnych ułamkowych (Powyższy wstęp zajmie dwie lekcje w klasie dobrej zaś trzy w klasie słabszej.).

Układ znaków $a<b$ jest więc zdaniem, które może być prawdziwe albo fałszywe.

Uczniowie kojarzyli dotychczas ze słowem »większy« i »mniejszy« znaczenie wzięte z życia codziennego. Otóż należy pokazać uczniom, że słowo »mniejszy« i »większy« co innego znaczyć będą, niż w życiu codziennem. I tak np. $-4$ jest mniejsze od $-1$, gdyż $\left(-1\right)-\left(-4\right)$ itd., chociaż wyda się im, że powinnoby być przeciwnie. Cel: przyzwyczajenie ucznia do rozumienia słowa w znaczeniu umówionem a nie zaś tylko zgodnie z przyzwyczajeniami życia codziennego.

Będziemy teraz udowadniali różne twierdzenia, postępując podobnie, jak w geometrji: będzie założenie, teza, dowód – a przy każdym kroku będziemy wyraźnie podawali, na czem się opierać będziemy.

Postanowimy sobie jednak, ot tak dla zabawy, że wolno nam będzie opierać się wyłącznie: 1) na twierdzeniach I.–VIII., które nazwiemy aksjomatami, 2) na twierdzeniach o równościach prawdziwych, 3) na prawie symetrji, zwrotności i przechodniości dla równości, 4) na twierdzeniach które przedtem udowodnimy, wreszcie 5) na definicjach 1. 2., nie wolno zaś nam będzie oprzeć się na jakiemkolwiek twierdzeniu, nawet prawdziwem, które nie należy do wyliczonych tu twierdzeń. Np. nie wolno będzie się nam oprzeć na tem, że gdy $a$ uj. i $b$ uj. to $a.b$ dod. – o ile tego twierdzenia wpierw nie udowodnimy.

Nie należy silić się, by koniecznie wydobyć metody heurystyczną pierwsze dowody od uczniów. Należy to jednak czynić z dowodami późniejszymi, o ile nie wchodzi tu jakaś istotnie nowa i nieznana uczniom metoda.

Widać, jak się będzie rozwijać teorja w dalszym ciągu. Po kilku lekcjach uczniowie sami potrafią niejedno, nawet nowe twierdzenie udowodnić oraz będą zgłaszać liczne zadania tzw. „zadania z własnej pilności” (zadania nieobowiązkowe uważam za najbardziej kształcące). Nawet nowe twierdzenia będą lepsi uczniowie wykrywali i podawali ich dowody.

Eksperymentowałem powyższą teorję wielokrotnie w klasach IV, V, VI, VII i VIII i nie zauważyłem zbyt wielkiej różnicy w zdolności pojmowania tej teorji w powyższych klasach. Teorja ta ma tę zaletę, że przedstawia pewien cały system dedukcyjny, który będzie można kiedyś omówić w VIII61 klasie przy okazji ogólnych uwag o budowie matematyki, sama zaś daje sposobność do wpajania w uczniów, obok poczucia ścisłości też wielu pojęć logiki formalnej, np. pojęcie równoważności zdań ogólnych: (Przykład I. $a$ dod. i II. $a>0$ są równoważne, co oznacza: z założonej prawdziwości pierwszego zdania wynika prawdziwość drugiego i odwrotnie).