Edward Biegański (Łowicz), Dowód twierdzenia o stosunku przekątnych czworoboku wpisanego w koło

(Przytoczony tu dowód różni się od stosowanych dotychczas dowodów tem, iż jest oparty li tylko na podobieństwie dwu par trójkątów utworzonych z boków i odcinków przekątnych czworoboku. Dowód ten opublikowałem w r. 1915 w miesięczniku »Математическое Оброзование« Nr. 29 (w Moskwie).)

Oznaczenia: czworobok $A B C D$ , $A B = a$ , $B C = b$ , $C D = c$ , $D A = d$ , $E =$ punkt przecięcia przekątnych.

Z podobieństwa trójkątów

B C E i A D E, dalej C D E i A B C

mamy kolejno :

\begin{array}{l} \frac{B E}{A E} & = \frac{b}{d} \\ \frac{E D}{A E} & = \frac{c}{a} \end{array}

Dodając te równości stronami, otrzymujemy :

\frac{B D}{A E} = \frac{a b + c d}{a d}

skąd

\frac{A E}{B D} = \frac{a d}{a b + c d}

(1)

Podobnież

\frac{E C}{B D} = \frac{b c}{a b + c d}

(2)

Dodając stronami równości (1) i (2), otrzymujemy:

\frac{A C}{B D} = \frac{a d + b c}{a b + c d} .