Alfred Rosenblatt (Kraków), O regularyzacji problematu trzech ciał

(Sur la régularisation du problème des trois corps).

1. Envisageons trois corps $P_{0}, P, P^{'}$ de masses $m_{0}, m, m^{'}$ qui se meuvent constamment dans un plan en s’attirant conformément à la loi de Newton. Soient

\begin{array}{l} x & = x_{1} + i x_{2} = \bar{P_{0} P}, \\ x^{'} & = x_{1}^{'} + i x_{2}^{'} = \bar{P_{0} P^{'}}, \\ r & = | x |, \\ r^{'} & = | x^{'} |, \\ Δ & = | x^{'} | - | x | . \end{array}

et soient $p = p_{1} + i p_{2}$ et $p^{'} = p_{1}^{'} + i p_{2}^{'}$ les quantités absolues de mouvement. On a les équations canoniques

\begin{align} \begin{aligned} \frac{d x_{i}}{d t} & = \frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \frac{d x_{i}^{'}}{d t} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}^{'}}, \\ \frac{d p_{i}}{d t} & = \frac{\partial H}{\partial x_{i}}, \frac{d p_{i}^{'}}{d t} = \frac{\partial H}{\partial x_{i}^{'}}, \end{aligned} & (1) \\ \begin{aligned} H & = T - U = \frac{1}{2} (\frac{1}{m_{0}} + \frac{1}{m^{'}}) (p_{1}^{2} + p_{2}^{2}) \\ + \frac{1}{2} (\frac{1}{m_{0}} + \frac{1}{m^{'}}) ({p_{1}^{'}}^{2} + {p_{2}^{'}}^{2}) + \frac{1}{m_{0}} (p_{1} p_{1}^{'} + p_{2} p_{2}^{'}) \\ - f (\frac{m_{0} m}{r} + \frac{m_{0} m^{'}}{r^{'}} + \frac{m m^{'}}{Δ}) . \end{aligned} & (2) \end{align}

Dans une Note: „Sur la régularisation du problème plan des 3 corps” (Rendiconti dei Lincei marzo 1926), j’ai introduit les deux vecteurs $ξ, ξ^{'}$ déﬁnis par

x = 4 ξ^{2} {ξ^{'}}^{2}, x^{'} = - {(ξ^{2} - {ξ^{'}}^{2})}^{2},

(3)

de sorte que

\bar{P P^{'}} = x^{'} - x = - {(ξ^{2} + {ξ^{'}}^{2})}^{2} .

J’ai ensuite introduit les vecteurs $π, π^{'}$ remplissant la condition assurant la canonicité du changement de variable

\bar{π} d ξ + \bar{π^{'}} d ξ^{'} = \bar{p} d x + \bar{p^{'}} d x,

(4)

(le trait dénote des quantités conjuguées complexes).

Remplaçons le temps $t$ par la variable indépendante $u$

u = \int_{t_{0}}^{t} \frac{d t}{r r^{'} Δ},

(5)

et introduisons la nouvelle fonction $H^{x}$

H^{x} = r r^{'} Δ (H - E),

(6)

(E constante de l’énergie). On a

\begin{align} \begin{aligned} r & = 4 ξ \bar{ξ} ξ^{'} \bar{ξ^{'}}, r^{'} = (ξ^{2} - {ξ^{'}}^{2}) ({\bar{ξ}}^{2} - {\bar{ξ^{'}}}^{2}), \\ Δ & = (ξ^{2} + {ξ^{'}}^{2}) ({\bar{ξ}}^{2} + {\bar{ξ^{'}}}^{2}) . \end{aligned} & (7) \\ \begin{aligned} H^{x} & = - r r^{'} Δ E + \frac{1}{32} {(\frac{1}{m_{0}} + \frac{1}{m}) (π \bar{ξ^{'}} + π^{'} \bar{ξ}) \\ . (\bar{π} ξ^{'} + \bar{π^{'}} ξ) (ξ^{2} - {ξ^{'}}^{2}) ({\bar{ξ}}^{2} - {\bar{ξ^{'}}}^{2}) \\ + (\frac{1}{m_{0}} + \frac{1}{m}) (π \bar{ξ} - π^{'} ξ^{'}) . 4 ξ \bar{ξ} ξ^{'} \bar{ξ^{'}} \\ + \frac{2}{m_{0}} [(π \bar{ξ^{'}} + π^{'} \bar{ξ}) (\bar{π^{'}} \bar{ξ^{'}} - \bar{π} ξ) \bar{ξ} \bar{ξ^{'}} ({\bar{ξ}}^{2} {\bar{ξ^{'}}}^{2}) \\ + (\bar{π} ξ^{'} + \bar{π^{'}} ξ) (π^{'} \bar{ξ^{'}} - π \bar{ξ}) ξ ξ^{'} (ξ^{2} - {ξ^{'}}^{2})]} \\ - f [m_{0} m (ξ^{2} + {ξ^{'}}^{2}) ({\bar{ξ}}^{2} + {\bar{ξ^{'}}}^{2}) (ξ^{2} - {ξ^{'}}^{2}) ({\bar{ξ}}^{2} - {\bar{ξ^{'}}}^{2}) \\ + 4 m_{o} m^{'} ξ \bar{ξ} ξ^{'} \bar{ξ^{'}} ({\bar{ξ}}^{2} + {\bar{ξ^{'}}}^{2}) \\ + 4 m m^{'} ξ \bar{ξ} ξ^{'} \bar{ξ^{'}} (ξ^{2} - {ξ^{'}}^{2}) ({\bar{ξ}}^{2} - {\bar{ξ^{'}}}^{2})] . \end{aligned} & (8) \end{align}

Les équations canoniques sont alors

\begin{matrix} \begin{aligned} \frac{d ξ}{d u} & = 2 \frac{\partial H^{x}}{\partial \bar{π}}, \frac{d \bar{ξ}}{d u} = 2 \frac{\partial H^{x}}{\partial π}, \\ \frac{d π}{d u} & = - 2 \frac{\partial H^{x}}{\partial \bar{ξ}}, \frac{d \bar{π}}{d u} = - 2 \frac{\partial H^{x}}{\partial ξ} \end{aligned} \end{matrix}

(9)

et quatre autres analogues, valables pour les mouvements qui correspondent à la valeur donnée $E$ de la constante de l’énergie.

L’intégrale des aires est

\bar{π} ξ - π \bar{ξ} + \bar{π^{'}} ξ^{'} - π^{'} \bar{ξ^{'}} = C .

(10)

2. On peut au moyen de ces équations étudier facilement les conditions du choc de deux corps, $C$ étant supposé $0$ . Supposons $p .$ ex. que $P_{0}$ et $P$ se choquent, alors $ξ$ ou $ξ^{'}$ ’ tend vers zéro. $ξ^{'}, \bar{ξ^{'}}, π, \bar{π}, π^{'}, \bar{π^{'}}$ tendent vers des valeurs diﬀérentes de zéro. Nous pouvons développer ces fonctions autour du point envisagé suivant les puissances de $u$ . Supposons que $ξ, \bar{ξ}$ tendent vers zéro. On a

\begin{matrix} \begin{aligned} ξ & = ξ_{1} u + ξ_{2} u^{2} + \dots, \\ \bar{ξ} & = \bar{ξ_{1}} u + \bar{ξ_{2}} u^{2} + \dots, \\ π & = π_{0} + π_{1} u + \dots, \\ \bar{π} & = \bar{π_{0}} + \bar{π_{1}} u + \dots, \\ ξ^{'} & = ξ_{0}^{'} + ξ_{2}^{'} u^{2} + \dots, \\ \bar{ξ^{'}} & = \bar{ξ_{0}^{'}} + \bar{ξ_{2}^{'}} u^{2} + \dots, \\ π^{'} & = π_{0}^{'} + π_{1}^{'} u + \dots, \\ \bar{π^{'}} & = \bar{π_{0}^{'}} + \bar{π_{1}^{'}} u + \dots, \end{aligned} \end{matrix}

(11)

On exprime maintenant $π_{0}, \bar{π_{0}}, π_{0}^{'}, \bar{π_{0}^{'}}$ en $π, \bar{π}, ξ^{'}, \bar{ξ^{'}}, π^{'}, \bar{π^{'}}$ et $u$ et on remplace ces valeurs initiales dans les développements de $ξ, ξ^{'}$ par les séries en $u$ obtenues. On obtient les deux séries suivantes

\begin{matrix} \begin{aligned} ξ & = \frac{1}{16} (\frac{1}{m_{0}} + \frac{1}{m}) π {ξ^{'}}^{3} {\bar{ξ^{'}}}^{2} \\ + \frac{1}{1 6^{2}} (\frac{1}{m_{0}} + \frac{1}{m}) {ξ^{'}}^{4} {\bar{ξ^{'}}}^{4} . [(\frac{1}{m_{0}} + \frac{1}{m}) {ξ^{'}}^{2} \bar{ξ^{'}} π^{'} \bar{π} \\ - \frac{1}{m_{0}} π ({ξ^{'}}^{3} π^{'} + {\bar{ξ^{'}}}^{3} \bar{π^{'}})] u^{2} + {(u)}_{3}, \\ \bar{ξ} & = \frac{1}{16} (\frac{1}{m_{0}} + \frac{1}{m}) \bar{π} {ξ^{'}}^{3} {\bar{ξ^{'}}}^{3} u \\ + \frac{1}{1 6^{2}} (\frac{1}{m_{0}} + \frac{1}{m}) {ξ^{'}}^{4} {\bar{ξ^{'}}}^{4} . [(\frac{1}{m_{0}} + \frac{1}{m}) {\bar{ξ^{'}}}^{2} ξ^{'} \bar{π^{'}} π \\ - \frac{1}{m_{0}} \bar{π} ({\bar{ξ^{'}}}^{3} \bar{π^{'}} + {ξ^{'}}^{3} π^{'})] u^{2} + {(u)}_{3} . \end{aligned} \end{matrix}

(12)

Développons de même $t - t_{1}$ suivant les puissances de $u$ , et remplaçons dans les coeﬃcients les valeurs initiales $π_{0}$ etc par leurs développements. On trouv

t - t_{1} = \frac{1}{192} [{(\frac{1}{m_{0}} + \frac{1}{m})}^{2}] π \bar{π} {ξ^{'}}^{11} {\bar{ξ^{'}}}^{11} u^{2} + {(U)}_{4} .

(13)

L’élimination de u des équations (12) donne la condition de choc pour $t - t_{1}$ non donné suﬃsamment petit. Ce serait donc la condition nécessaire et suﬃsante pour que les deux corps $P_{0}, P$ qui à l’instant $t_{0}$ se trouvent suﬃsamment voisins puissent se choquer dans un temps suﬃsamment petit. Il faut naturellement envisager aussi la seconde condition, que l’on obtient en échangeant $ξ$ et $ξ^{'}, \bar{ξ}$ et $ξ^{'}, π$ et $π^{'}, \bar{π}$ et $\bar{π^{'}}$ .

Le temps $t - t_{1}$ étant donné suﬃsamment petit, on aura deux conditions de choc en éliminant u des 3 équations (12) et (13). La seconde paire de conditions s’obtient en échangeant encore $ξ$ et $ξ^{'}$ etc.

2. Ou peut obtenir directement les développements (12) en remplaçant dans les équations (9) $ξ$ et $\bar{ξ}$ par leurs développements en $u$ et en comparant les coëﬃcients des puissances diverses de $u$ . On a

\begin{matrix} \begin{aligned} \sum_{i = 1}^{\infty} i ξ_{i} u^{i - 1} + \sum_{i = 1}^{\infty} u^{i} [\frac{\partial ξ_{i}}{\partial \bar{π}} \frac{d \bar{π}}{d u} + \dots + \frac{\partial ξ_{i}}{\partial \bar{π^{'}}} \frac{d {\bar{π}}^{'}}{d u}] & = 2 \frac{\partial H^{*}}{\partial \bar{π}}, \\ \sum_{i = 1}^{\infty} i \bar{ξ_{i}} u^{i - 1} + \sum_{i = 1}^{\infty} u^{i} [\frac{\partial \bar{ξ_{i}}}{\partial \bar{π}} \frac{d π}{d u} + \dots + \frac{\partial \bar{ξ_{i}}}{\partial \bar{π^{'}}} \frac{d {\bar{π}}^{'}}{d u}] & = 2 \frac{\partial H^{*}}{\partial π}, \end{aligned} \end{matrix}

(14)

où il faut remplacer $\frac{d \bar{π}}{d u}$ etc. par les dérivées de $H^{*}$ .

Streszczenie. W roku zeszłym (marzec 1926) podałem w Nocie ogłoszonej w Sprawozdaniach Rzymskiej Akademji metodę regularyzacji zagadnienia płaskiego trzech ciał zapomocą przekształcenia kanonicznego prostszego od przekształcenia, zapomocą którego p. Levi-Civita w r. 1916 po raz pierwszy dokonał tej regularyzacji.

Obecnie studjuję tę regularyzację podając w obranych spółrzędnych warunki zderzenia się dwóch ciał i redukując układ kanoniczny przy pomocy całek pól i energji.