Alfred Rosenblatt (Kraków), O utworach trzechwymiarowych, których przestrzenie styczne spełniają pewne warunki różniczkowe

(Sur les variétés à trois dimensions, dont les espaces tangents satisfont à certaines conditions différentielles)

1. Envisageons une variété W3 à trois dimensions donnée dans un espace linéaire Sr+1 à r + 1 dimensions paramétriquement par les équations

yi = ui(x0,x1,x2),i = 0,,r. (1)

Envisageons la matrice M des dérivées partielles

M =ui xj,i = 0,,rj = 0,1,2 (2)

à r + 1 colonnes et à 3 lignes et désignons par Xijk le mineur d’ordre 3 appartenant aux colonnes i,j,k. Supposons qu’il y ait entre ces mineurs un certain nombre δ

δ r + 1 3 3(r 2) (3)

de relations linéaires indépendantes

aijkkX ijk = 0,h = 1,,δ. (4)

Les plans T3 tangents à la W3 coupent l’espace S̄r à l’infini en des plans S̄2 qui forment un système W¯ et qui appartiennent à δ complexes linéaires indépendants. Parmi ces complexes il y a au moins un complexe spécial, c’est à dire il y a à l’infini un espace linéaire S̄r3 auquel s’appuient tous les plans S̄2.

Envisageons maintenant une variété V 3 algébrique, possédant r + 1 = pg pa intégrales de 1re espèce de M. Picard. Soit Pg le genre géométrique de cette variété et supposons l’inégalité remplie

Pg 3(pg pa 3). (5)

Envisageons la variété W3 donnée par les équations (1) où les u, sont les intégrales de M. Picard. Si l’inégalité (5) est remplie, on a l’inégalité (3), donc il existe au moins un complexe linéaire S̄r3 spécial et alors la variété V 3 possède ou une congruence irrégulière {c} de courbes ou un faisceau {F} irrationnel de surfaces algébriques.

2. Dans une série de Notes des Comptes Rendus (1924–1926) j’ai fait l’étude complète du cas, où la V 3 possède des faisceaux irrationnels de surfaces de genre 2 ainsi que du cas où il n’y a pas de tels faisceaux et où dans (5) il y a le signe <. Il reste donc à étudier le cas de l’égalité et où la variété V 3 ne possède pas de tels faisceaux.

J’ai résolu la question dans le cas, où le système W de plans S̄2 à l’infini est de dimension 1 ou 2. Notamment je peux énoncer le théorème suivant:

Théorème. Si la variété W3 qui représente les intégrales de M. Picard de V 3 possède 1 hyperplans tangents, la V 3 possède: 1) un faisceau de genre r 1, 2) ou une congruence d’irrégularité r et un faisceau de genre 1, 3) ou une congruence d’irrégularité r + 1.

Si il y a 2 hyperplans tangents il y a 1) une congruence d’irrégularité r et un faisceau elliptique 2) ou une congruence d’irrégularité r + 1, 3) ou une congruence d’irrégularité r 1 et une autre congruence d’irrégularité > 2.

La démonstration du théorème sera donnée ailleurs.

Streszczenie. Zagadnienie badania powierzchni algebraicznych i kongruencyj krzywych algebraicznych na utworach algebraicznych trzechwymiarowych sprowadza się do ogólniejszego badania ogólnych utworów trzechwymiarowych i przestrzeni S3 stycznych do tych utworów. Badania te zapoczątkowane przez Segre’go, a kontynuowane przez Terracini’ego, kontynuuję ze szczególnem uwzględnieniem zastosowania do wyżej wymienionego zagadnienia.