(Sur les variétés à trois dimensions, dont les espaces tangents satisfont à certaines conditions différentielles)
1. Envisageons une variété à trois dimensions donnée dans un espace linéaire à dimensions paramétriquement par les équations
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Envisageons la matrice M des dérivées partielles
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à colonnes et à 3 lignes et désignons par le mineur d’ordre 3 appartenant aux colonnes . Supposons qu’il y ait entre ces mineurs un certain nombre
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de relations linéaires indépendantes
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Les plans tangents à la coupent l’espace à l’infini en des plans qui forment un système et qui appartiennent à complexes linéaires indépendants. Parmi ces complexes il y a au moins un complexe spécial, c’est à dire il y a à l’infini un espace linéaire auquel s’appuient tous les plans .
Envisageons maintenant une variété algébrique, possédant intégrales de espèce de M. Picard. Soit le genre géométrique de cette variété et supposons l’inégalité remplie
(5) |
Envisageons la variété donnée par les équations (1) où les u, sont les intégrales de M. Picard. Si l’inégalité (5) est remplie, on a l’inégalité (3), donc il existe au moins un complexe linéaire spécial et alors la variété possède ou une congruence irrégulière de courbes ou un faisceau irrationnel de surfaces algébriques.
2. Dans une série de Notes des Comptes Rendus (1924–1926) j’ai fait l’étude complète du cas, où la possède des faisceaux irrationnels de surfaces de genre ainsi que du cas où il n’y a pas de tels faisceaux et où dans (5) il y a le signe . Il reste donc à étudier le cas de l’égalité et où la variété ne possède pas de tels faisceaux.
J’ai résolu la question dans le cas, où le système de plans à l’infini est de dimension 1 ou 2. Notamment je peux énoncer le théorème suivant:
Théorème. Si la variété qui représente les intégrales de M. Picard de possède hyperplans tangents, la possède: 1) un faisceau de genre , 2) ou une congruence d’irrégularité et un faisceau de genre , 3) ou une congruence d’irrégularité .
Si il y a hyperplans tangents il y a 1) une congruence d’irrégularité et un faisceau elliptique 2) ou une congruence d’irrégularité , 3) ou une congruence d’irrégularité et une autre congruence d’irrégularité .
La démonstration du théorème sera donnée ailleurs.
Streszczenie. Zagadnienie badania powierzchni algebraicznych i kongruencyj krzywych algebraicznych na utworach algebraicznych trzechwymiarowych sprowadza się do ogólniejszego badania ogólnych utworów trzechwymiarowych i przestrzeni stycznych do tych utworów. Badania te zapoczątkowane przez Segre’go, a kontynuowane przez Terracini’ego, kontynuuję ze szczególnem uwzględnieniem zastosowania do wyżej wymienionego zagadnienia.