Antoni Hoborski (Kraków), Kilka uwag o krzywych regularnych

§ 1. Zajmując się własnościami powierzchni prostolinjowej o krzywej szczytowej, odkryłem kilka twierdzeń o krzywych regularnych, które – zdaje się – są nowe i które w obecnym komunikacie podaję.

§ 2. W przestrzeni niech będzie dana krzywa $C$

x = x (t), y = y (t), z = z (t)

(1)

gdzie $x, y, z$ oznaczają współrzędne prostokątne punktów. Krzywą $C$ nazwiemy regularną w przedziale $(a, b)$ [gdzie jest $- \infty < a < b < + \infty$ ] , jeżeli funkcje $x (t), y (t), z (t)$ mają drugie pochodne $x^{″} (t), y^{″} (t), z^{″} (t)$ , ciągłe w przedziale $(a, b)$ i jeżeli macierz

|\begin{matrix} x^{'} (t), & y^{'} (t), & z^{'} (t) \\ x^{″} (t), & y^{″} (t), & z^{″} (t) \end{matrix}|

jest rzędu 2 w każdym punkcie tego przedziału.

Tw. 1. Jeżeli krzywa $C$ jest regularną w przedziale $(a, b)$ i jeżeli $t_{0}$ jest liczbą tego przedziału, to istnieje liczba dodatnia $δ_{0}$ taka, że styczne do krzywej $C$ w żadnych dwu punktach $t_{1}$ , $t_{2}$ nie mają tego samego kierunku, jeżeli liczby $t_{1}, t_{2}$ spełniają związki

\begin{array}{l} a \leq t_{1} \leq b, a \leq t_{2} \leq b, \\ | t_{0} - t_{1} | \leq δ_{0}, | t_{0} - t_{2} | \leq δ_{0}, t_{1} \neq t_{2} \end{array}

pozatem te liczby są dowolne.

Tw. II. Jeżeli krzywa $C$ jest regularną w przedziale $(a, b)$ , to żadna styczna do krzywej $C$ nie ma nieskończonej ilości punktów styczności z krzywą $C$ .

Tw. III. Jeżeli krzywa $C$ jest regularną w przedziale $(a, b)$ i jeżeli $(l)$ oznacza daną prostą, to mnogość $E$ stycznych do krzywej $C$ , które mają ten sam kierunek, co prosta $(l)$ , jest zawsze skończoną.

Styczną $(s)$ do krzywej $C$ nazwiemy $n$ -krotną, jeżeli ma $(n)$ punktów styczności z krzywą $C$ .

Tw. IV. Jeżeli krzywa $C$ jest regularną w przedziale $(a, b)$ , jeżeli $t_{0}$ oznacza liczbę tego przedziału i jeżeli styczna $s_{0}$ do krzywej $C$ w punkcie $t_{0}$ jest $n$ -krotną, to istnieje liczba dodatnia $δ_{1}$ taka, że żadna styczna do krzywej $C$ w punkcie $t$ nie jest wyższej krotności, niż styczna $s_{0}$ , o ile tylko jest $| t - t_{0} | \leq δ_{1}$ , $a \leq t \leq b$ .

§ 3. W związku z powyższemi twierdzeniami wysłowiłem zagadnienie następujące: niech $C$ będzie krzywą regularną w przedziale $(a, b)$ i niech $E_{1}$ będzie mnogością stycznych krzywej $C$ $n$ -krotnych, gdzie $n \geq 2$ ; czy może być mnogość $E_{1}$ nieskończoną?

P. S. Gołąb rozwiązał to zagadnienie. Udowodnił tw. następujące: jeżeli krzywa jest regularną w przedziale $(a, b)$ i jeżeli nie ma punktów wielokrotnych o wspólnej stycznej, to mnogość $E_{1}$ jest skończona.

P. S. Gołąb skonstruował także przykład krzywej regularnej, dla której mnogość $E_{1}$ jest nieskończoną.