Antoni Zygmund (Warszawa), Kilka uwag o zbiorach jednoznaczności w teorji całek trygonometrycznych

Zbiorem Cantorowskim jednoznaczności w teorji szeregów trygonometrycznych nazywamy zbiór $E$ położony w przedziale $(0, 2 π)$ i posiadający tę własność, że każdy szereg trygonometryczny

\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} cos n x + b_{n} sin n x

zbieżny wszędzie w uzupełnieniu zbioru $E$ do zera, ma wszystkie spółczynniki równe zeru: $a_{n} = b_{n} = 0$ $(n = 0, 1, 2, \dots)$ . Analogicznie zbiorem Cantorowskim jednoznaczności dla całek trygonometrycznych nazywamy zbiór $E$ leżący w przedziale $(- \infty, + \infty)$ i taki, że dla każdej całki trygonometrycznej

\begin{array}{l} \int_{0}^{\infty} (a_{s} cos s x + b_{s} sin s x) d s; \\ lim_{μ \to \infty} \int_{μ}^{μ + 1} (| a_{s} | + | b_{s} |) d s = 0 \end{array}

zbieżnej w uzupełnieniu zbioru $E$ do zera, mamy dla prawie wszystkich wartości $s$ : $a_{s} = b_{s} = 0$ .

Treścią referatu jest udowodnienie twierdzenia, że zbiory jednoznaczności w teorji szeregów oraz całek trygonometrycznych są te same oraz rozszerzenie tego wyniku na inne zbiory jednoznaczności, które w odróżnieniu od Cantorowskich możnaby nazwać Du-Bois–Reymond’owskiemi.