S. Steckel (Kielce), O warunku sumowalności ciągu nieskończonego o dwuch miejscach skupienia

Niech będą dane dwa ciągi $\left\{a_n\right\}$ i $\left\{b_n\right\}$ liczb zespolonych takie, iż $\underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=a$, $\underset{n\to \infty }{lim}{b}_n=b$ i $a\ne b$. Niech dalej $\left\{p_n\right\}$ i $\left\{q_n\right\}$ oznaczają dwa ciągi nieskończone liczb naturalnych. Utwórzmy ciąg $\left\{c_n\right\}$ w sposób następujący: wypisujemy $p_1$ pierwszych wyrazów ciągu $\left\{a_n\right\}$, następnie $q_1$ pierwszych wyrazów ciągu $\left\{b_n\right\}$, dalej $p_2$ dalszych wyrazów ciągu $\left\{a_n\right\}$ i $q_2$ dalszych wyrazów ciągu $\left\{b_n\right\}$ i t. d. Połóżmy: $P_0=0$, $Q_0=0$, $P_n=p_1+p_2+\cdots +p_n$, $Q_n=q_1+q_2+\cdots +q_n$. Można z łatwością udowodnić następujące twierdzenie:

Na to, aby ciąg $\left\{c_n\right\}$ był sumowalny metodą średnich Cesàro rzędu $k$ ($k$ dowolna liczba rzeczywista $\ge 1$) potrzeba i wystarcza, aby istniały granice (skończone lub nie): $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{P_n}{Q_n}$ i $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{P_{n+1}}{Q_n}$ i aby było $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{P_n}{Q_n}=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{P_{n+1}}{Q_n}$.

Opierając się na tem twierdzeniu, można z łatwością efektywnie zbudować ciąg, złożony z jedynek i zer, niesumowalny $\left(Ck\right)$ dla żadnego $k\ge 1$ (Prof. Steinhaus udowodnił jeszcze w r. 1911 (Prace mat.-fiz. XXII, str. 121 i nast.) ogólniejsze twierdzenie, ze istnieje ciąg złożony z jedynek i zer, niesumowalny żadną metodą Toeplitz’a; twierdzenie to wysnuł prof. Steinhaus z rozważań natury ogólnej o uogólnieniach pojęcia granicy. Jeżeli zaś chodzi o rozpatrywany tutaj szczególny przypadek niesumowalności metodą średnich Cesàro, to konstrukcja oparta na podanem wyżej twierdzeniu jest znacznie prostsza.). Ciąg $\left\{c_n\right\}$ o tej własności otrzymujemy np. kładąc: $c_n=1$ jeżeli: $2^{\nu }-1\le n\le 2^{\nu }+2^{\nu -1}-2$, zaś: $c_n=O$ jeżeli: $2^{\nu }+2^{\nu -1}-1\le n\le 2^{\nu +1}-2$ dla $\nu =l,2,3,\dots$

Opierając się na powyższem twierdzeniu, można również z łatwością określić taką zmianę porządku wyrazów danego ciągu liczb zespolonych o dwuch miejscach skupienia $a$ i $b$ $\left(a\ne b\right)$, aby otrzymany w ten sposób ciąg był sumowalny do dowolnej liczby $\alpha$ kształtu: $a+\left(b-a\right)t$, gdzie: $0\le t\le 1$ (Zbiór liczb: $\alpha =a+\left(b-a\right)t$, gdzie: $0\le t\le 1$ (zbiór punktów odcinka wyznaczonego przez liczby $a$ i $b$) jest, jak łatwo widzieć, zbiorem wszystkich punktów sumowalności ciągów, jakie można otrzymać z ciągu danego przez zmianę porządku wyrazów.).