Stanisław Ruziewicz (Lwów), O funkcjach spełniających uogólniony warunek Lipschitz’a

Weźmy pod uwagę układ równań funkcyjnych:

f (\frac{x + k}{g}) = a_{k} + b_{k} f (x), k = 0, 1, \dots, g - 1,

gdzie $g$ jest liczbą naturalną $\geq 2$ , zaś liczby $a_{k}$ i $b_{k}$ spełniają dla $k = 0, 1, \dots, g - 1$ warunki:

| b_{k} | < 1, b_{g - 1} = 1 - \sum_{i = 0}^{g - 2} b_{i} a_{0} = 0, a_{k} = \sum_{i = 0}^{k - 1} b_{i}

Istnieje jedna i tylko jedna funkcja ograniczona w przedziale $(0, 1)$ , spełniająca powyższy układ równań; funkcja ta jest ciągła w tym przedziale.

Dobierając odpowiednio liczby $b_{k}$ , otrzymujemy funkcje ciągłe o różnych osobliwościach.

W szczególności, dobierając do dowolnej liczby dodatniej $a < 1$ odpowiednie liczby $b_{k}$ , otrzymujemy funkcję, spełniającą nierówność

| f (x) - f (y) | < M | x - y |^{a}, (M jest stałą),

(1)

a nie posiadającą dla żadnej wartości $x$ pochodnej (ani skończonej, ani nieskończonej) (Por. S. Ruziewicz, Sur les fonctions satisfaisant à la condition de Lipschitz généralisée, (Annales de la Soc. Pol. de Math., T. VII, 1928).).

Dalej, istnieje funkcja $f (x)$ , spełniająca nierówność

| f (x) - f (y) | < M | x - y | \cdot | log | x - y | |,

nie posiadająca dla żadnej wartości $x$ skończonej pochodnej.

Wreszcie przez odpowiedni obiór liczb $b_{k}$ otrzymujemy dla każdej liczby dodatniej $a < 1$ funkcję rosnącą, spełniającą warunek (1), a posiadającą pochodną $0$ wszędzie, z wyjątkiem pewnego zbioru miary Lebesgue’a zero (Por. S. Ruziewicz: Un exemple d’une fonction continue croissante ayant presque partout la dérivée nulle. (C. R. de séance de la Soc. des Sciences et des Lettres de Varsovie XX, 1928)).