W pracy niniejszej podaję kilka twierdzeń o funkcjonałach addytywnych w polach ciągów; w szczególności zajmuję się temi funkcjonałami, które są określone przy pomocy metod limesowalności Toeplitz’a.

Twierdzenie 1. Gdy $P_{1}$ , $P_{2}$ są polami ciągów, przyczem $P_{1} \subset P_{2}$ zaś $f_{1} ({a_{n}})$ jest funkcjonałem addytywnym (i jednorodnym) w $P_{1}$ , to istnieje funkcjonał addytywny (i jednorodny) $f_{2} ({a_{n}})$ w $P_{2}$ , taki, że $f_{2} ({a_{n}}) = f_{1} ({a_{n}})$ skoro ${a_{n}} \in P_{1}$ ; przytem gdy pole $P_{2}$ jest unormowane (Deﬁnicje terminów z teorji operacji, których używam, zawiera praca: S. Banach, Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales, Fundamenta Mathematicae, III, 1922.) i funkcjonał $f_{1} ({a_{n}})$ jest ciągły w $P_{1}$ , to funkcjonał $f_{2} ({a_{n}})$ jest ciągły w $P_{2}$ .

W szczególności tedy istnieje n. p. funkcjonał addytywny i jednorodny w polu wszystkich ciągów

f ({a_{n}})

taki, że

f ({a_{n}}) = lim_{n \to + \infty} a_{n}

, skoro ciąg

{a_{n}}

jest zbieżny (Twierdzenie to znajduje się w pracy: H. Steinhaus, Kilka słów o uogólnieniu pojęcia granicy, Prace matematyczno-ﬁzyczne, XXII, 1911.); w przypadku gdy ciąg

{a_{n}}

jest rozbieżny, liczba

f ({a_{n}})

może być rozpatrywana jako jego uogólniona granica. Przytem oczywiście funkcjonał

f ({a_{n}})

może być tak dobrany, by w polu wszystkich ciągów ograniczonych przy zwykłem jego unormowaniu był ciągły.

Można dalej udowodnić, korzystając z pozytywnego rozwiązania szerszego problemu miary w przypadku linjowym (S. Banach, Sur le problème de la mesure, Fundamenta Mathematicae, IV, 1923.), następujące

Twierdzenie 2. Istnieje w polu wszystkich ciągów ograniczonych funkcjonał addytywny i jednorodny $f ({a_{n}})$ spełniający warunki:

1.: $f ({a_{n}}) = f ({a_{n + 1}})$ ;
2.: $f ({a_{n}}) \geq 0$ skoro $a_{n} \geq 0$ $(n = 0, 1, \dots)$ ;
3.: $f ({1}) = 1$ .

Każdy funkcjonał tego rodzaju jest ciągły przy zwyczajnej deﬁnicji normy w rozważanem polu i posiada tę własność, że

f ({a_{n}}) = lim_{n \to + \infty} a_{n}

, gdy ciąg

{a_{n}}

jest zbieżny. W ten sposób uzyskujemy znowu pewne uogólnienie pojęcia granicy, mające tę zaletę że w przypadku każdych dwóch ciągów, z których jeden powstaje z drugiego zapomocą skończonej liczby zmian, uogólniona granica jest ta sama. Na mocy twierdzenia 1 zakres tego uogólnienia może być rozszerzony do pola wszystkich ciągów.

Do określania funkcjonałów addytywnych i jednorodnych w polach ciągów mogą być użyte metody limesowalności Toeplitz’a (Niektóre twierdzenia tego rozdziału zawiera praca: S. Mazur, Über lineare Limitierungsverfahren, Mathematische Zeitschrift, XXVIII, 1928.). Każda taka metoda M prowadzi mianowicie w znany sposób do określania funkcjonału addytywnego i jednorodnego w pewnem polu ciągów, które nazywa się polem limesowalności metody

M

. (Nie każde pole ciągów stanowi pole limesowalności pewnej metody Toeplitz’a; tak n. p. nie istnieje metoda Toeplitz’a, której polem limesowalności byłoby pole wszystkich ciągów ograniczonych). Nasuwa się pytanie, jakie warunki muszą spełniać ciągi podwójne

{a_{n, m}}

{b_{n, m}}

by odpowiadające im metody Toeplitz’a

A

B

miały tę własność, że każdy ciąg limesowalny metodą

A

jest limesowalny metodą

B

i to ewentualnie stale do tej samej liczby. W przypadku gdy metoda

A

jest identyczną, odpowiedź jest znana. Można jednak podać warunki, o które chodzi, w przypadku ogólniejszym, a mianowicie tym, gdy metoda

A

jest – jak mówimy – normalną. Tak nazywamy ją, gdy: 1.

a_{n, m} \neq 0

(n = 0, 1, \dots)

; 2.

a_{n, m} = 0

dla

n < m

(n, m = 0, 1, \dots)

. Wtedy istnieje widocznie dokładnie jedno przekształcenie

\sum_{m = 0}^{\infty} ξ_{n, m} u_{m}

(n = 0, 1, \dots)

odwrotne względem przekształcenia

\sum_{m = 0}^{\infty} a_{n, m} u_{m}

(n = 0, 1, \dots)

; gdy położymy

ξ_{n} = \sum_{m = 0}^{n} ξ_{n, m}

(n = 0, 1, \dots)

, to zachodzi

Twierdzenie 3. Na to, by każdy ciąglimesowalny metodą $A$ był limesowalny metodą $B$ , potrzeba i wystarcza, by spełnione były następujące warunki:

1.: ciąg ${ξ_{n}}$ jest limesowalny metodą $B$ do pewnej liczby $a$ ;
2.: każdy z ciągów ${ξ_{n, m}}$ $(m = 0, 1, \dots)$ jest limesowalny metodą $B$ do pewnej liczby $a_{m}$ ;
3.: przy każdem danem $p$ całkowitem $\geq 0$ ciąg ${\sum_{n = 0}^{r} | \sum_{k = 0}^{r} b_{p, k} ξ_{k, n} |}$ jest ograniczony;
4.: ciąg ${\sum_{n = 0}^{\infty} | \sum_{k = 0}^{\infty} b_{p, k} ξ_{k, n} |}$ jest ograniczony.

Przytem, gdy ciąg

{u_{n}}

jest limesowalny metodą

A

U

, to jest on limesowalny metodą

B

a U + \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (u_{n} - U)

; stąd i z twierdzenia poprzedniego wynika odrazu

Twierdzenie 4. Na to, by każdy ciąg limesowalny metodą $A$ , był limesowalny metodą $B$ i to stale do tej samej liczby, potrzeba i wystarcza, by spełnione były warunki poprzedniego twierdzenia, przyczem $a = 1$ , $a_{m} = 0$ $(m = 0, 1, \dots)$ .

Twierdzenie 3 stanowi uogólnienie twierdzenia Kojimy–Schurra zaś 4 twierdzenia Toeplitz’a.

Możnaby okazać, że gdy spełnione są warunki twierdzenia 3, przyczem metodą

A

jest jakakolwiek metoda Cesàro

C_{k}

lub Eulera

E_{k}

(k > 0)

a pozatem metoda

B

jest permanentna, to

a = 1

a_{m} = 0

(m = 0, 1, \dots)

. Nasuwa to przypuszczenie, że w przypadku ogólnym, gdy pole limesowalności metody normalnej permanentnej

A

jest częścią pola limesowalności metody permanentnej

B

, to każdy ciąg limesowalny metodą

A

jest limesowalny metodą

B

do tej samej liczby. Przypuszczenie to jest błędne; co więcej zachodzi

Twierdzenie 5. Istnieją metody normalne permanentne o wspólnem polu limesowaluości a mimo to limesujące pewne ciągi do liczb różnych.

Twierdzenie 6. Gdy pole limesowalności metody normalnej permanentnej $A$ zawiera się w polu limesowalności metody permanentnej $B$ , to każdy ciąg ograniczony limesowalny metodą $A$ jest limesowalny metodą $B$ do tej samej liczby.

Załóżmy teraz, że spełnione są warunki ostatniego twierdzenia; chodzi o to, w jakim przypadku można wnioskować, że dany ciąg (nieograniczony) limesowalny metodą

A

jest limesowalny metodą

B

do tej samej liczby. Aby odpowiedzieć na to pytanie, połóżmy dla każdego ciągu

{u_{n}}

limesowalnego metodą

A

tak określony w polu limesowalności metody

A

funkcjonał stanowi w nim normę i przy niej jest ono zupełne. Ponadto możnaby sprawdzić, korzystając z twierdzenia 3, że gdy położymy w nim

to uzyskany funkcjonał będzie linjowy. Niech dalej

e_{0} = {1}

oraz

e_{n} = {x_{n, m}}

, gdzie

x_{n, m} = 1

dla

n = m + 1

= 0

dla

n \neq m + 1

(n = 1, 2, \dots;

m = 0, 1, \dots)

. Przypuśćmy, że ciąg

e = {u_{n}}

jest limesowalny metodą

A

U

; gdy element

e

daje przedstawienie postaci

gdzie

{𝜗}

jest ciągiem liczb rzeczywistych, to musi być

𝜗 = U

𝜗_{n} = u_{n - 1} - U

(n = 1, 2, \dots)

i, jak stąd w jednej chwili wynika,

f ({u_{n}}) = U

. Z drugiej strony, wobec przyjętej deﬁnicji normy w polu limesowalności metody

A

, na to by zachodziło wzmiankowane rozwinięcie, potrzeba i wystarcza, by ciąg

{u_{n} - U}

był limesowalny metodą

A

jednostajnie, t. zn. by do każdego

𝜀 > 0

istniało naturalne

m_{0}

takie, że

Twierdzenie 7. Gdy pole limesowalności metody normalnej permanentnej $A$ zawiera się w polu limesowalności metody permanentnej $B$ , to ciąg ${u_{n}}$ limesowalny metodą $A$ do $U$ jest limesowalny metodą $B$ do tej samej liczby, o ile tylko ciąg ${u_{n} - U}$ jest limesowalny metodą jednostajnie.

Widać teraz, że na to by metoda normalna permanentna

A

miała tę własność, że gdy jej pole limesowalności zawiera się w polu limesowalności jakiejś metody permanentnej

B

, to każdy ciąg limesowalny metodą

A

jest limesowalny metodą

B

do tej samej liczby, wystarcza by ciąg

{a_{n}}

stanowił bazę (Deﬁnicję tego terminu zawiera praca: J. Schauder, Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalräumen, Mathematische Zeitschrift, XXVI, 1927.) w polu limesowalności metody

A

; przypadek ten jest właśnie zrealizowany dla metod Cesàro i Eulera.

Podane twierdzenia o funkcjonałach addytywnych i jednorodnych w polach ciągów przenoszą się oczywiście na przypadek, gdy chodzi nie o pola ciągów lecz szeregów. Specjalnie każda metoda sumowalności Toeplitz’a prowadzi do określenia funkcjonału addytywnego i jednorodnego w pewnem polu szeregów, które nazywa się polem sumowalności tej metody. Jeżeli chodzi o metody sumowalności, to warto dla uzyskania pewnej analogji z teorją zbieżności szeregów wprowadzić pojęcie szeregów bezwarunkowo i warunkowo sumowalnych. Niech

A

będzie metodą sumowalności Toeplitz’a i przypuśćmy, że dany szereg jest nią sumowalny (do

U

); otóż nazywamy go sumowalnym metodą

A

bezwarunkowo (do

U

), gdy każdy szereg różniący się od niego conajwyżej porządkiem wyrazów jest sumowalny metodą

A

i to stale do tej samej liczby; w razie przeciwnym powiadamy, że jest sumowalny metodą

A

warunkowo (do

U

) (Badaniu szeregów warunkowo sumowalnych poświęcona jest moja praca „O szeregach warunkowo sumowalnych”, która będzie drukowana w Sprawozdaniach Towarzystwa Naukowego we Lwowie.). Jest widocznem, że w przypadku n. p. metod Cesàro lub Eulera pojęcie szeregów bezwarunkowo sumowalnych pokrywa się z pojęciem szeregów bezwzględnie zbieżnych; istnieją jednak permanentne metody sumowalności, przy których to nie zachodzi. Powstaje pytanie, kiedy dana metoda sumowalności posiada tę własność, że do szeregów warunkowo sumowalnych przy użyciu jej odnosi się twierdzenie analogiczne do twierdzenia Riemann’a, dotyczącego szeregów warunkowo zbieżnych. W tym kierunku zachodzi przedewszystkiem

Twierdzenie 8. Gdy $α, β$ są liczbami rzeczywistemi, to istnieje szereg $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ o tej własności, że gdy $r$ jest liczbą postaci $α t + β$ przy $t$ całkowitem to przez odpowiednią zmianę porządku wyrazów można uzyskać z szeregu $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ szereg sumowalny metodą $H_{1}$ do $r$ , ale przez żadną zmianę porządku wyrazów nie można z niego otrzymać szeregu sumowalnego metodą $H_{1}$ do jakiejś liczby nie będącej wzmiankowanej postaci.

Twierdzenie 9. Gdy $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ jest szeregiem warunkowo sumowalnym metodą $H_{k}$ ( $k$ naturalne) i ciąg ${a_{n}}$ jest ograniczony, to do każdej liczby rzeczywistej $r$ można dobrać szereg różniący się conajwyżej porządkiem wyrazów od szeregu $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ , sumowalny metodą $H_{k}$ do $r$ .

Stanisław Mazur (Lwów), O metodach sumowalności