Stefan Kaczmarz (Lwów), Warunki zbieżności szeregów ortogonalnych

W komunikacie niniejszym mam zamiar podać pewien warunek zbieżności szeregu ortogonalnego $\sum a_{n} φ_{n} (x)$ , gdzie $\sum a_{n}^{2} < \infty$ , warunek odmiennego typu, niż znane dotychczas warunki. Dotychczasowe bowiem założenia o szeregu ortogonalnym odnosiły się do własności spółczynników $a_{n}$ , nasuwa się zatem problem przy jakich założeniach odnoszących się do samego układu ortogonalnego szereg będzie zbieżny prawie wszędzie. Założenia te tyczą się funkcji Lebesgue’a dla danego układu, to znaczy

ρ_{n} (x) = \int_{0}^{1} | \sum_{1}^{n} φ_{k} (x) φ_{k} (t) | d t .

O funkcji powyższej udowodnił Rademacher, iż prawie wszędzie

ρ_{n}^{2} (x) = O (n {log}^{3 + 𝜀} n), 𝜀 > 0 .

Otóż łatwo jest wykazać następujące

Twierdzenie. Dla funkcji $ρ_{n} (x)$ mamy prawie wszędzie

ρ_{n}^{2} (x) = o (n {log}^{1 + 𝜀} n) .

Na podstawie bowiem nierówności Schwarza mamy

ρ_{n}^{2} \leq \sum_{1}^{n} φ_{k}^{2} (x) .

Z drugiej strony szereg

\sum \frac{1}{n {log}^{1 + 𝜀} n} φ_{n}^{2} (x)

jest prawie wszędzie zbieżny, zatem wedle Kroneckera

\sum_{1}^{n} φ_{k}^{2} (x) = o (n {log}^{1 + 𝜀} n) .

Jeżeli teraz założymy, że funkcja Lebesgue’a jest prawie wszędzie ograniczona bez względu na wówczas mamy

Twierdzenie. Jeżeli prawie wszędzie

ρ_{n} (x) < 1

wtedy szereg ortogonalny

\sum a_{n} φ_{n} (x)

jest prawie wszędzie zbieżny, jeżeli tylko $\sum a_{n}^{2} < \infty$ .