Kazimierz Zarankiewicz (Warszawa), O pewnej topologicznej własności płaszczyzny

Autor dowodzi twierdzenia: „Jeżeli na płaszczyźnie euklidesowej dane są trzy ograniczone obszary, z których każdy leży w nieograniczonej składowej uzupełnienia pozostałych, oraz trzy rozłączne kontinua takie, iż każde z nich posiada punkt wspólny z każdym obszarem, wówczas conajmniej jedno kontinuum rozcina conajmniej jeden obszar”.

Następnie autor zdeﬁnjował pojęcie kontinuum zbieżności. Mówimy, że kontinuum $K$ jest kontinuum zbieżności dla zbioru $C$ , jeżeli w $C$ istnieje ciąg kontinuów $K_{1}, K_{2}, K_{3}, \dots$ taki, że :

\begin{array}{l} K_{n} . K_{m} = 0 dla m \neq n \\ K . K_{n} = 0 \\ K = Lim K_{n} (w znaczeniu Hausdorﬀa) . \end{array}

Wreszcie zostało udowodnione twierdzenie: „W każdym punkcie kontinuum zbieżności, z wyjątkiem conajwyżej dwuch punktów, zbiór $K + \sum K_{n}$ rozcina lokalnie płaszczyznę na nieskończoną mnogość obszarów”. W związku z tym podane zostało twierdzenie (które może być uważane w pewnym sensie za odwrotne do tw. Jordana): Kontinuum ograniczone, które w każdym punkcie lokalnie rozcina płaszczyznę dokładnie na dwa obszary, jest krzywą zwykłą zamkniętą”.

Ob. Fund. Math. XI, „Über eine topologische Eigenschaft der Ebene”.