Stefan Straszewicz (Warszawa), Z teorji rozcinania przestrzeni

1. Komunikat niniejszy zawiera dwa twierdzenia, będące w ścisłym związku z twierdzeniami, podanemi w pracy S. Mazurkiewicza i S. Straszewicza: „Sur les coupures de l’espace” Fundamenta Mathematicae t. IX str. 205.

2. Będziemy oznaczali przez $\phi \left(t\right)$, $f\left(t,\lambda \right)$ etc., funkcje zmiennych rzeczywistych $t,\lambda ,\dots$, których wartościami są punkty przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej $E$.

3. Niech $C$ oznacza krzywą zamkniętą zwykłą w $E$, zaś $\phi \left(t\right)$ funkcję ciągłą dla $0\le t\le 2\pi$ przyczem $\phi \left(0\right)=\phi \left(2\pi \right)$. Jeżeli zbiór punktów $\phi \left(t\right)$ jest identyczny z $C$ to funkcję $\phi \left(t\right)$ nazwiemy przebiegiem krzywej $C$.

4. Oznaczmy przez $C_1$ i $C_2$ dwie krzywe zamknięte zwykłe zawarte w zbiorze $M$. Powiemy, że krzywa $C_1$ jest homotopiczna z krzywą $C_2$ w zbiorze $M$, co napiszemy $C_1\sim C_2\left(M\right)$, jeżeli istnieją takie przebiegi ${\phi }_1\left(t\right)$ i ${\phi }_2\left(t\right)$ odpowiednio dla $C_1$ i $C_2$ oraz taka funkcja $f\left(t,\lambda \right)$, ciągła w obszarze $0\le t\le 2\pi {\lambda }_1\le \lambda \le {\lambda }_2$, że spełnione są warunki:

Jeżeli $C_2$ redukuje się do punktu, t. j. $\phi \left(t\right)=\mathrm{\text{const.}}$, to mówimy, że krzywa $C_1$ jest homotopiczna zeru w zbiorze $M$, t. j. $C_1\sim 0\left(M\right)$.

Stosunek homotopji posiada następujące własności:

a)

Jeżeli $C\subset M$, to $C\sim C\left(M\right)$

b)

Jeżeli $C_1\sim C_2\left(M\right)$, to $C_2\sim C_1\left(M\right)$

c)

Jeżeli $C_1\sim C_2\left(M\right)$ i $C_2\sim C_3\left(M\right)$ to $C_1\sim C_3\left(M\right)$.

5. Zbiór $A$ kratuje przestrzeń $E$ (jest kratą przestrzeni), jeżeli zbiór $E-A$ zawiera krzywe zamknięte zwykłe nie homotopiczne zeru w $E-A$. Zbiór $A$, kratujący przestrzeń, nazywa się kratą prostą jeżeli każde dwie krzywe zamknięte zwykłe, leżące w $E-A$ i nie homotopiczne zeru w $E-A$ są homotopiczne ze sobą w $E-A$.

6. Twierdzenie. Niech $A$ i $B$ oznaczają zbiory domknięte, zaś $a,b,c$ punkty nie należące do $A+B$ i przytem takie, że ani $A$ ani $B$ nie rozcina przestrzeni pomiędzy żadnemi dwoma z pośród tych punktów. Jeżeli $AB$ jest krata prostą, to $A+B$ nie rozcina przestrzeni conajmniej pomiędzy dwoma z pośród punktów $a,b,c$.

Dowód powyższego twierdzenia oprzemy na pewnym lemacie z topologji płaszczyzny. Niech $\Delta$ oznacza obszar płaski, którego brzeg $F\left(\Delta \right)$ jest sumą skończonej liczby krzywych zamkniętych zwykłych $C_i$, zaś $A$ i $B$ niech będą zbiorami domkniętemi takiemi, że $F\left(\Delta \right)$ jest rozłączne z $AB$, lecz zarówno $C_{i}A\ne 0$ jak $C_i.B\ne 0$ dla każdego $i$. Krzywe $C_i$ możemy podzielić zapomocą skończonej liczby punktów $p_{ik}$ na łuki naprzemian rozłączne z $A$ i z $B$, lecz nierozłączne z $A+B$. Punkty $p_{ik}$ nazwiemy wierzchołkami brzegu $F\left(\Delta \right)$.

Lemat wspomniany brzmi: Jeżeli $\Delta .AB=0$, to dla każdego wierzchołka $p_{ik}$ istnieje conajmniej jeden wierzchołek $p_{jl}$ (różny od $p_{ik}$) taki, że $A+B$ nie rozcina $\bar{\Delta }$ między $p_{ik}$ i $p_{jl}$.

Dowód tego lematu (poza nieistotną różnicą w sformułowaniu) dla wypadku, gdy brzeg składa się z jednej krzywej zamkniętej podałem w § 10 pracy „Über die Zerschneidung der Ebene durch abgeschlossene Mengena”, Fundamenta Math. t. VII. Uogólnienie na dowolną liczbę składowych brzegu dokonywa się zapomocą łatwej indukcji.

Przystępując do dowodu twierdzenia, podanego na wstępie tego paragrafu załóżmy, że $A+B$ rozcina przestrzeń między $a$ i $c$ oraz między $b$ i $c$. Udowodnimy, że wówczas $A+B$ nie rozcina przestrzeni między $a$ i $b$.

Z założenia wynika, że istnieją łuki proste $J_1$ i $J_2$ o końcach $a$ i $c$ takie, że $J_{1}A=0$, $J_{2}B=0$ oraz podobnie łuki $K_1$ i $K_2$ o końcach $b$ i $c$ takie, że $K_{1}A=0$, $K_{2}B=0$. Możemy założyć, że łuki $J_1$ i $J_2$ a także $K_1$ i $K_2$ nie mają prócz swych końców innych punktów wspólnych. W przeciwnym razie moglibyśmy bowiem zapomocą elementarnych konstrukcyj zastąpić te łuki przez inne posiadające wymienione własności. Krzywe zamknięte zwykłe $J_1+J_2$ i $K_1+K_2$ oznaczymy odpowiednio przez $C_1$ i $C_2$.

Żadna z krzywych $C_1$ i $C_2$ nie jest homotopiczna zeru w $E-AB$. Gdyby bowiem było np. $C_1\sim 0\left(E-AB\right)$, to stosując rozumowanie § 6 pracy, cytowanej w § 1 artykułu niniejszego, otrzymalibyśmy wniosek, że $A+B$ nie rozcina przestrzeni między $a$ i $c$, wbrew przyjętemu założeniu.

W myśl założenia, że $AB$ jest kratą prostą, istnieją zatem przebiegi ${\phi }_1\left(t\right)$ i ${\phi }_2\left(t\right)$ krzywych $C_1$ i $C_2$ oraz funkcja $f\left(t,\lambda \right)$ ciągła w obszarze $0\le t\le 2\pi$, ${\lambda }_1\le \lambda \le {\lambda }_2$ dla których mamy

Możemy przyjąć, że $a=f\left(0,{\lambda }_1\right)$, $b=f\left(0,{\lambda }_2\right)$, $c=f\left(\pi ,{\lambda }_1\right)$ $=f\left(\pi ,{\lambda }_2\right)$

Interpretujmy teraz $t$ i $\lambda$ jako amplitudę i promień wodzący punkta na płaszczyźnie. Oznaczmy przez $A_1$, zbiór wszystkich punktów płaszczyzny $(t,\lambda$), dla których $f\left(t,\lambda \right)\in A$, przez $B_1$ zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których $f\left(t,\lambda \right)\in B$, oraz przez $a_1,b_1,c_1,c_2$ biegunowych punkty płaszczyzny o spółrzędnych $\left(0,{\lambda }_1\right)$, $\left(0,{\lambda }_2\right)$, $\left(\pi ,{\lambda }_1\right)$, $\left(\pi ,{\lambda }_2\right)$. Pierścień kołowy, określony przez nierówności $0\le t<2\pi$, ${\lambda }_1<\lambda <{\lambda }_2$ oznaczmy przez $\Delta$. Zbiory $A_1$ i $B_2$ są wskutek ciągłości $f\left(t,\lambda \right)$ domknięte i wobec $f\left(t,\lambda \right)\in E-AB$ mamy $\bar{\Delta }.A_1{B}_1=0$. Możemy zatem do obszaru $\Delta$ zastosować podany wyżej lemat, przyczem za wierzchołki brzegu $\Delta$ obierzemy punkty $a_1,b_1,c_1,c_2$. W myśl lematu wierzchołek $a_1$, może być połączony z jednym conajmniej z wierzchołków $b_1,c_1,c_2$ łukiem prostym, przebiegającym w $\bar{\Delta }$ i rozłącznym z $A_1+B_1$. Lecz wierzchołkiem tym nie może być ani $c_1$ ani $c_2$, gdyż według założenia $A+B$ rozcina przestrzeń między $a$ i $c$, zatem $A+B$ rozcina $\bar{\Delta }$ między $a_1$ i $c_1$ oraz między $a_1$ i $c_2$. A zatem jest nim b${}_1$, t. zn. $A_1+B_1$ nie rozcina $\bar{\Delta }$ między $a_1$ i $b_1$. Wobec ciągłości funkcji $f\left(t,\lambda \right)$ wynika stąd, że $A+B$ nie rozcina przestrzeni między $a$ i $b$ c. b. d. d.

7. Niech $C=J_1+J_2$ będzie krzywą zamkniętą zwykłą równą sumie łuków prostych $J_1$ i $J_2$ o wspólnych końcach, zaś $J_2$ niech oznacza łuk prosty, łączący końce $J_1$ i $J_2$ i nie posiadający innych punktów wspólnych z $C$. Będziemy mówili, że $J_3$ rozkłada $C$ na krzywe cząstkowe $C_1=J_1+J_2$ i $C_2=J_2+J_3$. Każda z krzywych $C_1$ i $C_2$ może być rozłożona z kolei w tensam sposób. Ogólnie możemy mówić o rozkładzie krzywej pierwotnej $C$ na dowolną liczbę krzywych cząstkowych.

8. Lemat. Niech $J_1,J_2,J_3$, oznaczają łuki proste o wspólnym początku i wspólnym końcu, nie posiadające innych punktów wspólnych i położone w pewnym zbiorze $M$. Jeżeli $J_1+J_2\sim 0\left(M\right)$, to $J_1+J_3\sim J_2+J_3\left(M\right)$.

Lemat ten jest uogólnieniem lematu I-go z pracy cytowanej w § 1 i udowadnia się analogicznie.

9. Twierdzenie. Niech $A$ i $B$ oznaczają zbiory domknięte, z których żaden nie kratuje przestrzeni, zaś których iloczyn $AB$ kratuje przestrzeń, lecz nie jest kratą prostą, t. zn. istnieją krzywe zamknięte zwykłe $C_1,C_2$, nie homotopiczne zeru i nie homotopiczne względem siebie w $E-AB$. Załóżmy dalej, że krzywe $C_1$ i $C_2$ mogą być obrane tak, że przy każdym rozkładzie $C_1$ i $C_2$ zapomocą łuków prostych leżących w $E-AB$ istnieje składowa $K_1$ krzywej $C_1$ oraz składowa $K_2$ krzywej $C_2$ takie, że ani $K_1$ ani $K_2$ nie jest homotopiczna zeru oraz $K_1$ nie jest $\sim K_2$ w $E-AB$.

Przy tych założeniach zbiór $A+B$ rozcina przestrzeń conajmniej na 3 obszary.

Dowód. Ponieważ $C_i$ nie jest $\sim 0$ w $E-AB$ więc tembardziej nie jest $\sim 0$ w $E-A$ i w $E-B$. Ponieważ zaś ani $A$ ani $B$ nie kratuje przestrzeni więc musi być $C_{i}A\ne 0$ i $C_{i}B\ne 0$. Wobec tego każdą z krzywych $C_i$ można zapomocą skończonej liczby punktów, które nazwiemy wierzchołkami podzielić na łuki naprzemian rozłączne z $A$ i z $B$, lecz nierozłączne z $A+B$. Wierzchołki krzywej $C_1$ następujące po sobie w pewnym zwrocie oznaczmy przez $a_1,a_2,\dots$ podobnie wierzchołki krzywej $C_2$ przez $b_1,b_2,\dots$

Z twierdzenia II pracy cytowanej w § 1 wynika, że wierzchołki $a_i$ a także wierzchołki $b_i$ leżą conajmniej w dwóch obszarach uzupełnienia $A+B$. Przypuśćmy, że wbrew twierdzeniu $A+B$ rozcina przestrzeń tylko na dwa obszary ${\Gamma }_1$ i ${\Gamma }_2$. Możemy wówczas krzywe $C_1$ i $C_2$ rozłożyć w sposób następujący. Niech $a_1\in {\Gamma }_1$; połączmy $a_1$ z każdym wierzchołkiem $a_k$, leżącym w ${\Gamma }_1$ łukiem prostym, położonym również w ${\Gamma }_1$. Możemy łuki te przeprowadzić tak, że parami wzięte mają tylko punkt $a_1$ wspólny, oraz że oprócz swych końców nie mają innych punktów wspólnych z $C_1$. W ten sposób krzywa $C_1$ została rozłożona na krzywe $D_1,D_2,D_3,\dots$ Każdą z pośród krzywych $D_i$, która zawiera dwa lub więcej wierzchołki $a_i$, leżące w ${\Gamma }_2$ rozkładamy dalej, łącząc w podobny sposób jeden z tych wierzchołków z pozostałemi. Otrzymamy wówczas rozkład krzywej $C_1$ na krzywe $E_1,E_2,\dots$

Analogicznie rozłożymy krzywą $C_2$ na krzywe $F_1,F_2,\dots$

Każda z krzywych $E_i$ lub $F_j$ może być dwojakiego rodzaju: albo jest ona rozłączna z $A$ lub z $B$ i wówczas jest $\sim 0$ w $E-A$ lub w $E-B$ a więc też w $E-AB$, albo jest sumą $2$-ch łuków, z których jeden jest rozłączny z $A$, drugi jest rozłączny z $B$ i których wspólne końce należą jeden do ${\Gamma }_1$, drugi do ${\Gamma }_2$.

Okażemy, że każde dwie krzywe drugiego typu są homotopiczne między sobą w $E-AB$. Niech np. $E_1=J_1+J_2$ i $F_1=K_1+K_2$ oznaczają krzywe zamknięte zwykłe, utworzone z łuków prostych $J_1,J_2,K_1,K_2$ spełniających założenia:

Połączmy punkty $a_1$ i $b_1$ łukiem prostym $M$, leżącym w ${\Gamma }_1$ i punkty $a_2$ i $b_2$ łukiem prostym $N$, leżącym w ${\Gamma }_2$, tak, aby $M$ i $N$ nie miały oprócz swych końców innych punktów wspólnych z $E_1+F_1$. Wówczas krzywa $J_1+K_1+M+N$ jest homotopiczna zeru w $E-AB$, gdyż jest rozłączna z $B$. Zatem w myśl lematu § 8 jest

Z drugiej strony krzywa $J_2+K_2+M+N$ jest homotopiczna zeru w $E-AB$, gdyż jest rozłączna z $A$, więc na podstawie tegoż lematu

Stąd

Stosując powyższe do krzywych $E_i$ i $F_j$ na jakie rozłożone zostały $C_1$ i $C_2$, widzimy, że wszystkie te z nich, które nie są homotopiczne zeru są homotopiczne między sobą w $E-AB$. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem. Przypuszczenie więc, że $A+B$ rozcina przestrzeń tylko na $2$ obszary jest błędne c. b. d. d.

1. La communication présente comporte deux théorèmes qui se rattachent aux propositions établies dans l’article de S. Mazurkiewicz et S. Straszewicz „Sur les coupures de l’espace” publié dans „Fundamenta Mathematicae” t. IX p. 205.

2. Nous désignerons par $\phi \left(t\right),f\left(t,\lambda \right)$, etc. des fonctions des variables réelles $t,\lambda ,\dots$ dont les valeurs sont les points de l’espace euclidien E à trois dimensions.

3. Soit $C$ une courbe simple fermée dans $E$ et $\phi \left(t\right)$ une fonction continue dans $0\le t\le 2\pi$ et telle que $\phi \left(0\right)=\phi \left(2\pi \right)$. Si l’ensemble des points $\phi \left(t\right)$ est identique à $C$ nous dirons que $\phi \left(t\right)$ détermine un parcours de $C$.

4. Soient $C_1$ et $C_2$ deux courbes simples fermées et $M$ un ensemble contenant $C_1$ et $C_2$. La courbe $C_1$ sera dite homotope à $C_2$ dans $M$, ce qu’on écrira $C_1\sim C_2\left(M\right)$, s’il existe des parcours ${\phi }_1\left(t\right)$ et ${\phi }_2\left(t\right)$ de $C_1$ resp. de $C$, et une fonction $f\left(t,\lambda \right)$ continue dans le domaine $0\le t\le 2\pi$, ${\lambda }_1\le \lambda \le {\lambda }_2$ telles que

Si $C_2$ se réduit à un point c.-à d. si ${\phi }_2\left(t\right)=\mathrm{\text{const.}}$, la courbe $C_1$ sera dite homotope à zéro: $C_1\sim 0\left(M\right)$.

La relation d’homotopie jouit des propriétés suivantes:

a)

Si $C\subset M$, alors $C_2\sim C\left(M\right)$.

b)

Si $C_1\sim C_2\left(M\right)$, on a aussi $C_2\sim C_1\left(M\right)$.

c)

Si $C_1\sim C_2\left(M\right)$ et $C_2\sim C_3\left(M\right)$ alors $C_1\sim C_3\left(M\right)$.

5. Nous dirons qu’un ensemble A est entrelaçable s’il existe des courbes simples fermées non homotopes à zéro dans $E-A$. Un ensemble entrelaçable $A$ sera dit simplement entrelaçable, si toutes les courbes simples fermées non homotopes à zéro dans $E-A$ sont homotopes entre elles dans cet ensemble.

6. Théorème. Soient $A$ et $B$ deux ensembles fermés et $a,b,c$ des points non appartenant à $A+B$ et tels que ni $A$ ni $B$ ne coupe l’espace entre aucun couple de ces points.

Si l’ensemble $AB$ est simplement entrelaçable, la somme $A+B$ ne coupe pas l’espace entre deux au moins des points $a,b,c$.

7. Soit $C=J_1+J_2$ une courbe simple fermée, somme des arcs simples $J_1,J_2$ coëxtremaux, et $J_3$ un arc simple unissant les extrémités de $J_1$ et $J_2$ et n’ayant pas avec $C$ d’autres points en commun. Nous dirons que $J_3$ décompose $C$ en des courbes partielles $C_1=J_1+J_3$ et $C_2=J_2+J_3$. Chacune des courbes $C_1$ et $C_2$, peut être décomposée à son tour et on peut envisager ainsi une décomposition de la courbe primitive en un nombre quelconque de courbes partielles

8. Théorème. Soient $A$ et $B$ des ensembles fermés non entrelaçables dont le produit $AB$ est entrelaçable mais pas simplement entrelaçable. Donc il existe dans $E-AB$ deux courbes simples fermées $C_1$ et $C_2$, dont aucune n’est homotope à zéro, et qui ne sont pas homotopes entre elles dans $E-AB$. Supposons en outre que l’on peut choisir ces courbes de telle manière, qu’après toute décomposition de $C_1$ et $C_2$ par des arcs situés dans $E-AB$, il se trouve des courbes partielles $K_1,K_2$ de $C_1$ resp. $C_2$ telles que ni $K_1$ ni $K_2$ n’est homotope à zéro et que $K_1$ n’est pas homotope à $K_2$ dans $E-AB$.

Dans ces conditions l’ensemble $A+B$ coupe l’espace au moins en trois régions.

9. La démonstration du théorème précédent repose essentiellement sur le lemme suivant, qui présente une généralisation du lemme 1 de l’article cité au § 1.

Lemme. $J_1,J_2,J_3$ étant trois arcs simples coëxtrémaux sans autres points communs deux à deux et situés dans un ensemble $M$, si $J_1+J_2\sim 0\left(M\right)$, alors $J_1+J_3\sim J_2+J_3\left(M\right)$.