Włodzimierz Stożek (Lwów), Über den Fixpunktsatz in der Ebene

Bei jeder stetigen Abbildung eines Quadrates in sich selbst, oder in einen Theil desselben, gibt es einen Fixpunkt (Beim Verfassen dieser Notiz war mir Herr Kollege Kuratowski behilflich.).

Der Beweis stützt sich auf dem folgenden von Janiszewski (Prace Mat. Fiz. T. XXVI und cf: Kuratowski Fund. Math. T. XIII S. 309.) stammenden Satze:

Sind im Quadrate zwei abgeschlossene und elementfremde Mengen $M$ und $N$ gegeben und ist $A$ ein Punkt von $M$ und $B$ ein Punkt von $N$, so gibt es in diesem Quadrate ein Kontinuum $K$, welches das Quadrat zwischen $A$ und $B$ trennt und mit $M+N$ keinen gemeinsamen Punkt hat.

Beweis des Fixpunktsatzes. Der Voraussetzung gemäss existiert eine stetige Abbildung, welche jedem Punkte $\left(xy\right)$ des Quadrates $Q$ einen Punkt $\left(x^{\prime }{y}^{\prime }\right)$ von $Q$ zuordnet. Es soll bewiesen werden, dass es ein Punkt $\left(xy\right)$ existiert, für welchen:

Es sei $X_1$, die Menge der Punkte von $Q$, für welche $x\le x^{\prime }$ und weiter: $X_2\left(x^{\prime }\le x\right)$, $Y_1\left(y\le y^{\prime }\right)$, $Y_2\left(y^{\prime }\le y\right)$.

Wir haben also:

Nehmen wir an:

Alsdann wegen (4):

Setzen wir:

So folgt aus (6):

Es existiert also nach dem erwähnten Satze von Janiszewski ein Kontinuum $K\subset Q$, das $A$ und $B$ trennt und ausserdem:

Da $A$ und $B$ getrennt sind, so ist:

Aus den letzten Ungleichungen folgt wegen (3):

Da $K$ ein Kontinuum ist, so ist wegen (1): $K.X_1{X}_2\ne 0$. Dies wiederspricht aber der Gleichung (7), da einerseits $K\left[X_1{X}_2{Y}_1+X_1{X}_2{Y}_2\right]=0$, anderseits aber aus (2): $X_1{X}_2{Y}_1+X_1{X}_2{Y}_2=X_1{X}_2$.