Stanisław Saks (Warszawa), Remarque sur le théorème de Brouwer–Phragmèn

Le but de cette communication est de prouver une remarque présentant une certaine analogie avec le théorème connu de MM. Phragmèn–Brouwer.

1. Soit $E$ un espace métrique, localement connexe. Convenons de dire qu’un ensemble fermé $F \subset E$ ne découpe pas régionalement $E$ si pour chaque domaine (ouvert) connexe $G \subset E$ contenant $F$ , le domaine $G - F$ reste connexe.

La remarque dont il est question s’énonce comme voici:

Si un continu $C$ ne découpe pas régionalement l’espace $E$ , la frontière de $C$ est un continu.

Démonstration. Soit $B$ la frontière de $C$ et supposons que $B$ ne soit pas un continu. On peut poser alors:

B = B_{1} + B_{2}, B_{1} \times B_{2} = 0,

$B_{1}, B_{2}$ étant des ensembles fermés et non-vides. Il existe, parsuite, deux ensembles ouverts $0_{1}$ , $0_{2}$ tels que

B_{1} \subset O_{1}, B_{2} \subset O_{2}, O_{1} \times O_{2} = 0 .

(1)

Soit

O = O_{1} + O_{2} + I,

$I$ désignant l’ensemble des points intérieurs de $C$ .

Soit $G$ la composante de $O$ contenant $C$ . $E$ étant connexe localement, $G$ est un domaine connexe (voir, p ex. Hahn, Fund. Math., t. 2 (1921), p. 189.). On a

\begin{matrix} \begin{aligned} G - C & \subset O_{1} + O_{2}, donc: \\ G - C & = (G - C) . O_{1} + (G - C) ._{) 2} \end{aligned} \end{matrix}

(2)

Comme dans l’entourage de chaque point de $B_{1} + B_{2}$ il y a des points qui n’appartiennent pas à $C$ , il vient:

(G - C) . O_{1} \neq 0 \neq (G - C) . O_{2} .

Or, les ensembles $(G - C) . 0_{1}$ , $(G - C) . O_{2}$ étant, en vertu de (1) séparés, il s’ensuit de (2) que $G - C$ n’est pas connexe, c.-à-d. que $C$ découpe régionalement $E$ .

2. Il s’ensuit de la proposition précédente que, si la notion de la coupure régionale et celle au sens ordinaire sont équivalentes pour les ensembles fermés, l’espace considéré $E$ vériﬁe le théorème de Phragmèn–Brouwer (j’entends par là que la frontière de chaque continu ne découpant pas E, est un continu.). La réciproque, comme M. Kuratowski a remarqué, a lieu aussi, si l’espace $E$ est localement connexe et compact. En eﬀet, si $E$ satisfait audit théorème, le produit de deux domaines connexes dont la somme est égale à $E$ est toujours connexe (voir: Kuratowski, Fund. Math. XIIT, pp. 208–210.). Supposons donc qu’un ensemble fermé $F$ ne découpe pas $E$ et soit $G$ un domaine connexe contenant $F$ . On a:

E = E - F + G et G - F = (E - F) . G,

donc $G - F$ est, d’après la proposition précitée, un domaine connexe.

3. Le théorème de Phragmèn–Brouwer est rempli, comme on sait, sur la surface de sphère et dans le plan projectif. M. Mazurkiewicz (Fund. Math. t. III (1922), p. 20.) a montré que ce théorème est valable, dans toute sa généralité, (c.-à-d. aussi pour les continus non-compacts) sur le plan euclidien; la même méthode permet d’obtenir le résultat analogue pour la surface de Moebius. Les quatre surfaces mentionnées sont les seules (Le terme „surface” est conçu au sens qui lui a été attribué par M. Weyl (Die Idee der Riemannschen Fläche. 1913).), où le théorème de Phragmèn-Brouwer est vériﬁé. D’après le § 2, elles sont, à la fois, les seules surfaces où les notions de coupure ordinaire et régionale sont équivalentes.