Wacław Sierpiński (Warszawa), O pewnych własnościach zbiorów rzutowych

1.: Deﬁnicja zbiorów rzutowych.
2.: Zbiór $H$ .
3.: Zbiory $H_{n}$ .
4.: Iloczyny zbiorów $P_{n}$ .
5.: Operacja $A$ na zbiorach $C A$ .
6.: Własność Baire’a a zbiory $P_{2}$ .
7.: Zbiory doskonale mierzalne w znaczeniu węższem.
8.: Mierzalność $(L)$ zbiorów rzutowych a krzywa Peano.
9.: Tw. Hurewicza. Zbiory doskonale mierzalne $B$ .
10.: Sito. Zbiory przesiane przez sito.
11.: Zbiory $π (E)$ i $μ (E)$ .

Podam tutaj przedewszystkiem deﬁnicję zbiorów rzutowych, odbiegającą cokolwiek od oryginalnej deﬁnicji prof. Łuzina. Różnica będzie polegała na tem, że w deﬁnicji, którą podam, wyeliminowane będą zbiory mierzalne $B$ , stanowiące w deﬁnicji Łuzina punkt wyjścia.

Niech $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m - 1}, x_{m})$ oznacza punkt w przestrzeni euklidesowej $m$ -wymiarowej $(m > 1)$ . Przez rzut tego punktu będziemy rozumieli punkt $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m - 1})$ przestrzeni $(m - 1)$ -wymiarowej. Przez rzut zbioru, położonego w przestrzeni $m$ -wymiarowej, rozumieć będziemy zbiór rzutów wszystkich jego punktów. Rzut zbioru $E$ oznaczać będziemy przez $P (E)$ , dopełnienie zaś zbioru $E$ (względem tej przestrzeni, w której leży) – przez $C (E)$ . Rzut i dopełnienie: $P$ i $C$ , będą to dwie operacje elementarne.

Zbiorami rzutowymi nazywamy zbiory przestrzeni o dowolnej (skończonej) liczbie wymiarów, które dadzą się otrzymać ze zbiorów zamkniętych (przestrzeni o dowolnej większej liczbie wymiarów) przez stosowanie skończoną liczbę razy operacji rzutu i dopełnienia.

Rozpatrzmy nieco bliżej klasy zbiorów, które w ten sposób stopniowo otrzymujemy.

Jeżeli przez $F$ oznaczać będziemy zbiory zamknięte przestrzeni $m$ -wymiarowej, to, jak to łatwo można okazać, rodzina zbiorów $P (F)$ pokrywa się z rodziną zbiorów $F_{σ}$ . Godnem uwagi jest, że każdy zbiór $P (F)$ jest obrazem ciągłym tego samego zbioru zamkniętego linjowego, który otrzymamy, umieszczając w każdym z przedziałów o końcach, będących kolejnemi liczbami całkowitemi, znany zbiór doskonały nigdziegęsty Cantora.

Zbiory $C P (F)$ są to oczywiście zbiory $G_{δ}$ (i naodwrót). Zbiory $P C P (F)$ są to więc rzuty zbiorów $G_{δ}$ , czyli zbiory $(A)$ (analityczne) (i naodwrót).

U Łuzina punktem wyjścia są zbiory Borela – będziemy je oznaczali przez $B$ . Pierwszą klasę zbiorów rzutowych stanowią u Łuzina zbiory $P (B)$ oraz $C P (B)$ , a więc zbiory $(A)$ , oraz ich dopełnienia.

Jak wiadomo, każdy zbiór $(A)$ (w przestrzeni $m$ -wymiarowej) jest obrazem ciągłym tego samego zbioru (linjowego), mianowicie zbioru wszystkich liczb niewymiernych. Nowy wynik, który otrzymałem, jest ten, że każdy zbiór $C (A)$ jest obrazem ciągłym tego samego zbioru $C (A)$ linjowego, $H$ . Możnaby podać efektywną, arytmetyczną deﬁnicję zbioru $H$ . Zbiór $H$ oczywiście nie może być zbiorem $(A)$ , gdyż każdy obraz ciągły zbioru $(A)$ jest zbiorem $(A)$ , zaś wśród zbiorów $C (A)$ istnieją jak wiadomo, takie, które nie są zbiorami $(A)$ . Zbiór $C H$ jest więc przykładem zbioru $(A)$ , którego dopełnienie nie jest zbiorem $(A)$ , skąd wynika, jak wiadomo, że zbiór ten nie jest mierzalny $B$ . Zbiór $H$ posiada jeszcze inną ciekawą własność: jego obrazy ciągłe pokrywają się z rzutami zbiorów $C A$ , czyli ze zbiorami $P C P C P (F)$ .

Dla udogodnienia, wprowadzimy dalej następujące oznaczenia. Przez $P_{0}$ oznaczać będziemy zbiory $F_{σ}$ , przez $C_{0}$ -zbiory $G_{δ}$ . Określimy, dalej, przez indukcję, zbiory $P_{n}$ i $C_{n}$ (dla $n = 1, 2, 3, \dots$ ).

Przez $P_{n}$ będziemy rozumieli zbiory $P (C_{n - 1})$ , zaś przez $C_{n}$ zbiory $C (P_{n - 1})$ . Zatem $P_{1}$ będą to zbiory $(A)$ , $C_{1}$ – ich dopełnienia, $P_{2}$ – rzuty dopełnień zbiorów $(A)$ . Zbiory $P_{n}$ oraz $C_{n}$ , które nie są $P_{n - 1}$ ani $C_{n - 1}$ , tworzą $n$ -tą klasę zbiorów rzutowych Łuzina

Uogólniając wspomniany wyżej wynik, dotyczący zbioru $H$ , udowodniłem, że dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieje zbiór linjowy $H_{n}$ , będący zbiorem $C_{n - 1}$ , takim, iż zbiory $P_{n}$ pokrywają się z obrazami ciągłemi zbioru $H_{n}$ .

Z deﬁnicji zbiorów $P_{1}$ , wynika, że suma oraz iloczyn przeliczalnej mnogości zbiorów $P_{1}$ , jest zbiorem $P_{1}$ . Natomiast otwartem pozostawało pytanie, czy podobną własność posiadają sumy, oraz iloczyny zbiorów $P_{n}$ (dla $n = 2, 3, \dots$ ). Otóż udowodniłem, że suma oraz iloczyn przeliczalnej mnogości zbiorów $P_{n}$ jest zbiorem $P_{n}$ (dla $n \geq 1$ ). Wynika stąd, że jeżeli na zbiorach rzutowych klasy $\leq n$ Łuzina wykonamy skończoną lub przeliczalną mnogość dodawań, odejmowań, lub mnożeń zbiorów, to otrzymamy zbiory, będące klasy conajwyżej $n + 1$ (jednocześnie $P_{n + 1}$ i $C_{n + 1}$ ). Wynika stąd też. że wynik tak zwanej operacji $(A)$ , dokonanej na zbiorach $P_{n}$ , jest zawsze zbiorem $P_{n}$ . W szczególności więc wynik operacji $(A)$ , dokonanej na zbiorach $C A$ , jest zbiorem $P_{2}$ . Ważnem byłoby zbadanie, czy naodwrót, każdy zbiór $P_{2}$ jest wynikiem operacji $(A)$ na zbiorach $C A$ . Gdyby bowiem tak było, to wynikałoby stąd, że każdy zbiór $P_{2}$ (a więc też każdy zbiór rzutowy klasy 2 Łuzina) jest mierzalny $(L)$ , oraz spełnia warunek Baire’a. Pytania te nie są dotąd, jak wiadomo, rozstrzygnięte, a prof. Łuzin jest zdania, że nigdy nie będą rozstrzygnięte. Dla rozstrzygnięcia pytania, czy każdy zbiór $P_{1}$ jest wynikiem operacji $(A)$ na zbiorach $C A$ , wystarczałoby rozstrzygnąć, czy tak zwany zbiór płaski uniwersalny $P_{2}$ posiada tę własność (Uniwersalnym (płaskim) zbiorem $P_{2}$ nazywamy taki płaski zbiór $P_{2}$ , którego przecięcia równoległemi do osi $y$ -ów dają wszystkie zbiory $P_{2}$ linjowe. Można udowodnić, że istnieją zbiory $P_{n}$ oraz $C_{n}$ uniwersalne, dla $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ ).

Co do własności Baire’a, to zbudowałem efektywnie zbiór $P_{2}$ liniowy $Z$ taki, że zagadnienie, czy każdy linjowy zbiór rzutowy klasy 2 Łuzina posiada własność Baire’a, jest równoważne pytaniu, czy zbiór $Z$ posiada własność Baire’a.

P. Nikodym nazywa doskonale mierzalnymi w znaczeniu węższem zbiory, których wszystkie obrazy ciągłe są mierzalne $(L)$ . Otóż łatwo widzieć, że pytanie, czy każdy zbiór $P_{2}$ jest doskonale mierzalny w znaczeniu węższem, jest równoważne pytaniu czy zbiór $H_{2}$ jest doskonale mierzalny w znaczeniu węższem. Istnieje więc przykład efektywny, arytmetyczny, zbioru, co do którego nie jesteśmy w stanie, a (według Łuzina – nigdy nie będziemy w stanie) rozstrzygnąć, czy jest doskonale mierzalny w znaczeniu węższem.

Zbiory $P_{2}$ są, jak wiadomo, sumami $ℵ_{1}$ , zbiorów Borela: nie wiadomo jednak, czy są one też iloczynami $ℵ_{1}$ zbiorów Borela. I to pytanie sprowadza się do pytania, czy pewien efektywny zbiór $P_{2}$ jest sumą $ℵ_{1}$ zbiorów Borela.

Co do mierzalności $(L)$ zbiorów rzutowych klasy 2-giej, to nasuwa się tu jeszcze takie pytanie: Czy wystarczy udowodnić mierzalność $(L)$ zbiorów rzutowych 2-giej klasy linjowych, czy też trzeba przeprowadzać dowód osobno dla zbiorów linjowych, osobno dla płaskich, dla przestrzennych, i t. d. Otóż udowodniłem, że gdyby się dowiodło, że wszystkie zbiory rzutowe 2-giej klasy linjowe są mierzalne $L$ , to stąd już będzie wynikało, że wszystkie zbiory rzutowe klasy 2-giej w przestrzeni $m$ -wymiarowej są mierzalne $L$ . Dowód opiera się na pewnej elementarnej, ale, zdaje się nie znanej dotąd własności krzywej ciągłej Peano, wypełniającej kwadrat (tej, którą się otrzymuje przez kolejne dzielenie kwadratu, względnie odcinka, na $9, 9^{2}, 9^{3}$ i t. d. równych części). Mianowicie, jeżeli $Z$ jest dowolnym zbiorem punktów przedziału $(0, 1)$ , który krzywa Peano przekształca na zbiór płaski $T$ (punktów kwadratu), to miara zewnętrzna (względnie wewnętrzna) linjowa zbioru $Z$ jest równa mierze zewnętrznej (względnie wewnętrznej) powierzchniowej zbioru $T$ .

Jak już wspomniałem, istnieje zbiór linjowy $G_{δ}$ (np. zbiór wszystkich liczb niewymiernych) którego obrazy ciągłe dają wszystkie zbiory $(A)$ . Otóż nasuwa się pytanie, które ze zbiorów $G_{δ}$ linjowych posiadają jeszcze tę samą własność. Udowodniłem, że na to iżby obrazy ciągłe zbioru $G_{δ}$ linjowego dawały wszystkie zbiory $(A)$ , potrzeba i wystarcza, iżby zbiór ten nie był $F_{σ}$ . Wyniku tego nie ogłaszałem drukiem, gdyż dowiedziałem się, że p. Dr. W. Hurewicz ma wynik jeszcze mocniejszy, mianowicie, że odwzorowania ciągłe wzoru $(A)$ , nie będącego $F_{σ}$ dają wszystkie zbiory $(A)$ . Jeżeli więc nazwiemy zbiorami doskonale mierzalnymi $B$ te, których wszystkie obrazy ciągłe są mierzalne $B$ , to z pośród zbiorów linjowych jedynemi zbiorami doskonale mierzalnymi $B$ są zbiory $F_{σ}$ . Ciekawą rzeczą byłoby zbadanie, które ze zbiorów $C A$ posiadają tę własność, że ich odwzorowania ciągłe dają wszystkie zbiory $P_{2}$ . Czy wystarczy tu może, żeby zbiór $C A$ nie był mierzalny $B$ ?

Prócz rzutu jest jeszcze inna operacja, która doprowadza do zbiorów rzutowych: jest to operacja przesiewania zbiorów przez sito (crible) Łuzina. Ujmiemy rzecz tę cokolwiek ogólniej, niż Łuzin.

Dla każdego zbioru $E$ , leżącego w pół-płaszczyźnie $y > 0$ oznaczmy przez $K (E)$ , i nazwijmy zbiorem przesianym przez sito $E$ , zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$ , takich, iż prostopadła, wystawiona w punkcie $x$ do osi odciętych, traﬁa zbiór $E$ w zbiorze punktów, który nie jest dobrze uporządkowany według wzrastających rzędnych.

Okazuje się, że zbiory $(A)$ (linjowe) pokrywają się ze zbiorami $K (F)$ . Udowodniłem też, że jeżeli $E$ jest zbiorem $P_{n}$ (płaskim), to $K (E)$ jest zbiorem $P_{n}$ (linjowym), oraz że zbiory $P_{n}$ linjowe pokrywają się ze zbiorami $K (C_{n - 1})$ .

Wspomnę wreszcie o pewnym wyniku, dotyczącym zbioru $π (E)$ tych liczb $a$ , dla których prosta $x = a$ traﬁa zbiór płaski $E$ w zbiorze punktów zawierającym podmnogość doskonałą. Łuzin dowiódł, że jeżeli $E$ jest zbiorem $C A$ , to $π (E)$ jest zbiorem $P_{2}$ . Otóż można okazać, że każdy zbiór $P_{2}$ linjowy jest zbiorem $π (E)$ , gdzie $E$ jest pewnym (odpowiednio dobranym) zbiorem $C A$ (płaskim). W związku z tym wynikiem wyłania się następujące zagadnienie.

Oznaczmy przez $μ (E)$ zbiór wszystkich liczb $a$ , dla których prosta $x = a$ traﬁa zbiór płaski $E$ w nieprzeliczalnej mnogości punktów. Łuzin udowodnił, że jeżeli zbiór $E$ jest $C A$ , to zbiór $μ (E)$ jest $C_{3}$ , przyczem metoda Łuzina nie daje na $μ (E)$ niższej klasy. Gdyby się okazało, że jeżeli zbiór $E$ jest $C A$ , to zbiór $μ (E)$ może nie być to wynikałoby stąd istnienie zbiorów $C A$ nieprzeliczalnych, niezawierających podmnogości doskonałej.