Frege i Russell zrealizowali myśl Leibniza o sprowadzeniu matematyki do logiki. Praca ich wymaga jednak pewnych wyjaśnień i uzupełnień. Pojęcia pierwotne matematyki dają się bez reszty sprowadzić do pojęć pierwotnych logiki, ale nie wszystkie aksjomaty matematyczne dają się bez reszty sprowadzić do aksjomatów logiki. Do takich aksjomatów pozalogicznych matematyki należą aksjomat nieskończoności i aksjomat wyboru (multyplikatywny). Należą one do aksjomatów istnienia; nie można jednak dopatrywać się w nich cechy wyróżniającej matematykę od logiki, gdyż aksjomaty istnienia zachodzą także w logice mianowicie: aksjomat użycia zmiennej rzeczywistej, zakładający istnienie przynajmniej jednego przedmiotu i aksjomat sprowadzalności. Wszystkie aksjomaty istnienia zarówno zachodzące w logice jako też zachodzące w matematyce winny być przyjmowane warunkowo (czego autorowie Principiów nie zaznaczyli należycie w odniesieniu do aksjomatu sprowadzalności). Nadto potrzebny jest dowód niesprzeczności przyjmowanych aksjomatów logiki i matematyki czego w Principiach brak.
Poza kierunkiem pracy Russella, na szczególną uwagę zasługuje kierunek symboliczny Hilberta, który nie przywiązuje zbyt wielkiej wagi do rezultatu Russella sprowadzenia pojęć pierwotnych matematyki do pojęć pierwotnych logiki a zmierza przedewszystkiem do wykazania niesprzeczności aksjomatów logiczno-matematycznych. Kierunek ten, jakkolwiek nie docenia trochę wyników prac Russella nie może być jednak traktowany jako zasadniczo niezgodny z kierunkiem Whiteheada i Russella, i raczej przez dowód niesprzeczności aksjomatów logiczno-matematycznych (o ile dowód ten jest bez zarzutu, co na razie nie łatwo ocenić wobec fragmentaryzacji przedstawienia) stanowić może ważne uzupełnienie prac Whiteheada i Russella.
Natomiast kierunek intuicyjny reprezentowany w matematyce przez Brouwera i Weyla, nie uwidocznia na razie głębszej wartości naukowej i słusznie przez Hilberta został skwalifikowany jako „Putschversuch”. Trudno też zrozumieć, dlaczego intuicyjnym mieni się kierunek, który ogranicza w matematyce ważność zasady logicznej tak intuicyjnie pewnej i oczywistej, jaką jest zasada wyłączonego środka.