Henryk Greniewski (Warszawa), O jedynym terminie pierwotnym logiki matematycznej

Pracę nad redukcją terminów pierwotnych logiki rozpoczęliśmy wspólnie z Drem Leonem Chwistkiem na wiosnę 1925-ego roku. Wkrótce potem postawiliśmy sobie zadanie następujące: Zbudować system logiki matematycznej oparty na jedynym terminie pierwotnym i zawierający tylko nominalne definicje! (1). Jednakże okazało się, że to zadanie posiada bardzo wiele rozwiązań (w tem nieskończoną ilość rozwiązań nieestetycznych w postaci funkcyj o wielkiej ilości argumentów).

Wobec tego zaczęliśmy pracować oddzielnie, każdy z nas na własną rękę zaczął poszukiwać innego rezultatu. W referacie niniejszym przedstawię tylko wyniki moich badań. Rezultaty Dra Chwistka zostaną ogłoszone osobno.

Odczyt niniejszy jest niestety, tylko obszernym komunikatem. Nie udało mi się zmieścić w ramach 40-to minutowego przemówienia żadnych dowodów.

§ 1. Dr. Scheffer dowiódł, że wszystkie funkcje pewnej części logiki matematycznej, mianowicie teorji dedukcji dają się zdefinjować przy pomocy jednej z nich, mianowicie przy pomocy t. zw. wyłączania. (2). Jak wiadomo istnieją jeszcze inne części we współczesnej logice, które swym zewnętrznym wyglądem przypominają algebrę zdań (t. j. teorję dedukcji), a mianowicie:

1)

algebra zbiorów,

2)

algebra stosunków,

3)

algebra indywiduów (czyli teorja mnogości prof. Leśniewskiego).

Na analogję między ostatnią teorją, a wyżej wymienionemi algebrami zwrócił pierwszy uwagę Dr. A. Tarski.

Zauważmy teraz, że w każdej z trzech ostatnio wymienionych teoryj można zbudować po 2 funkcje (jedna zdaniowa, druga niezdaniowa), z których każda ma wiele własności przypominających Shefferowskie wyłączanie. Są to funkcje następujące:

1)

klasa takich $k$, że $k$ nie należy do klasy $\alpha$, lub $k$ nie należy do klasy $\beta$,

2)

stosunek między takiemi $k$, $l$, że $k$ nie pozostaje w stosunku $R$ do $l$, lub $k$ nie pozostaje w stosunku $S$ do $l$,

3)

uzupełnienie indywiduum $x$ łącznie z uzupełnieniem indywiduum $y$.

Uwaga: Uzupełnieniem indywiduum $x$ nazywam jedyne indywiduum $z$, które otrzymuje się przez odjęcie („wycięcie”) ze świata (czyli z najszerszego indywiduum) przedmiotu $x$.

Podałem już funkcje niezdaniowe, podam teraz – zdaniowe:

1)

przy wszelkiem $k$, $k$ nie należy do klasy $\alpha$, lub $k$ nie należy do klasy $\beta$, (czyli klasy: $\alpha ,\beta$ są rozłączne),

2)

przy wszelkich $k,l$, $k$ nie pozostaje w stosunku $R$ do $l$, lub $k$ nie pozostaje w stosunku $S$ do $l$ (czyli stosunki: $R,S$ są rozłączne),

3)

indywiduum $x$ jest nazewnątrz indywiduum $y$.

Łatwo się przekonać, że przy pomocy wyłączania („nie $-p$, lub nie $-q$”) i sześciu wyliczonych wyżej funkcyj można zdefinjować wszystkie terminy logiki matematycznej (wraz z algebrą indywiduów). (3) Wszystkie siedem funkcyj mają dużo podobnych własności. Przyszło mi więc na myśl, żeby określić je wszystkie przy pomocy jednego terminu pierwotnego, mianowicie przy pomocy jakiejś funkcji typikalnie wieloznacznej, przy pomocy jakiegoś „wyłączania w dowolnym typie logicznym”.

Wydaje mi się, że projekt ten zrealizowałem.

§ 2. Zanim określę termin pierwotny będę musiał krótko zreferować pewien sposób używania zmiennych pozornych pomysłu Dra Chwistka.

W matematyce często używamy funkcyj o argumentach funkcyjnych (np.: całki nieokreślone, pochodne, granice), to samo w logice (kwantyfikatory, wyrażenia postaci: klasa takich $x$, że... i t. d.).

Funkcjom takim nadaje się zwykle postać:

Zmienne powtórzone w takich wyrażeniach nazywamy pozornemi. Ten sposób używania zmiennych pozornych ma jednak dwie niedogodności:

1)

przy stosowaniu tego sposobu zapisujemy funkcje o argumentach funkcyjnych rozwlekle i zawile,

2)

przy stosowaniu tego sposobu definjowanie nominalne funkcyj o argumentach funkcyjnych jest wysoce utrudnione (definjowane bowiem funkcje mają w tym wypadku zawierać w sobie wyrażenia mające już przedtem ustalony sens, mianowicie mają zawierać wyrażenia postaci „$f\left(k\right)$”.

Być może, że A. N. Whitehead i B. Russell chcieli pierwszą z tych niedogodności usunąć, pisząc (ale tylko w pewnych wypadkach, dla kwantyfikatorów i klas tej metody np. nie stosowali) wyrażenia postaci:

Używana przez tych logików metoda „daszkowa” nasuwa jednak pewne wątpliwości (zwrócił na nie uwagę Dr. Chwistek (4)), nie wiadomo, czy

czy też

Wobec powyższego będziemy za Drem Chwistkiem pisali wyrażenia postaci „$ûf\left(k\right)$”, zamiast wyrażeń postaci „$f\left(k\right)$”. Jeśli chcemy wyrażenie postaci „$ûf\left(k\right)$” podstawić na miejsce argumentu funkcyjnego, to nadajemy najwpierw podstawianemu wyrażeniu postać „$ûf\left(û\right)$”. Zatem zamiast pisać zgodnie z tradycją:

piszemy:

§ 3. Dla uproszczenia sobie zadania przeprowadzę redukcję terminów pierwotnych na gruncie uproszczonej logiki matematycznej. Usuńmy mianowicie tymczasowo z logiki teorję stosunków (rozumianych jako funkcje zdaniowe o dwu argumentach), stracimy wtedy niewiele, mianowicie tylko teorję stosunków niejednorodnych (t. j. zachodzących między przedmiotami różnych typów logicznych), albowiem teorję stosunków jednorodnych można odbudować w obrębie teorji klas (jako teorję klas par porządkowych w sensie Dra K. Kuratowskiego). (5).

§ 4. Wiemy już, że logikę można oprzeć na siedmiu bardzo podobnych do siebie terminach pierwotnych. Wobec ostatnich uwag możemy liczbę tych terminów logiki (uproszczonej) ograniczyć do pięciu.

Nadam teraz sens wyrażeniu:

W wypadku, gdy wszystkie trzy argumenty są zdaniowe, przyjmuję, że

W wypadku, gdy pierwszy argument jest zdaniowy, a pozostałe dwa są klasowe (oba tego samego typu logicznego) przyjmuję, że

W wypadku, gdy wszystkie trzy argumenty są klasowe (tego samego typu) przyjmuję, że

W wypadku, gdy pierwszy argument jest zdaniowy, a pozostałe dwa są indywiduowe, przyjmuję, że

W wypadku, gdy wszystkie trzy argumenty są indywiduowe, przyjmuję, że

Jak widać wprowadziłem funkcję „$\widehat{k}\square \left(a,b,c\right)$” nie na drodze nominalnej definicji. Może zachodzić obawa, że dołączenie do logiki zdań określających tę funkcję doprowadzi do sprzeczności. Dla przekonania się, że tak nie jest, podam w odczycie niniejszym podstawy całkowito-liczbowej interpretacji logiki (uproszczonej) i zdań określających moją funkcję.

§ 5. Przeprowadzę teraz pewne rozważania czysto arytmetyczne. Będę używał aż czterech rodzajów zmiennych liczbowych:

1)

zmiennych całkowito-liczbowych: $k$, $m$, $n$, $l$, $u$, na miejsce których postanawiam podstawiać tylko symbole liczb całkowitych bezwzględnych,

2)

zmiennych pseudo-logicznych: $a$, $b$, $c$, na miejsce których postanawiam podstawiać tylko symbole liczb dobrych (klasa liczb dobrych zostanie wkrótce określona),

3)

zmiennych pseudo-zdaniowych: $p$, $q$, $r$, na miejsce których postanawiam podstawiać tylko symbole liczb 40 i 50,

4)

zmiennych pseudo-indywiduowych: $x$, $y$, $z$, na miejsce których postanawiam podstawiać symbole liczb 41 i 51.

Będę teraz nazywał:

1)

liczbę 0 podstawą obszaru 0-wego (czyli logistycznego),

2)

liczbę 1 podstawą obszaru 1-ego (czyli ontologicznego),

3)

liczbę 2 odpowiednikiem Bezsensu,

4)

liczbę 40 odpowiednikiem Fałszu,

5)

liczbę 50 odpowiednikiem Prawdy,

6)

liczbę 41 odpowiednikiem Niczego,

7)

liczbę 51 odpowiednikiem Wszystkiego (Świata, Najszerszego indywiduum).

Ostatnio wprowadzone nazwy mają na celu jedynie uczynić bardziej intuicyjną dalej podaną interpretację liczbową logiki.

Wprowadzam najwpierw jako pojęcia pomocnicze:

1)

pojęcie dodawania dziesiętnego „$k+10m$”

2)

pojęcie sumacji dziesiętnej ciągu induktywnego „$\underset{}{\sum {}_{10}}n\left(u_n\right)$”,

3)

pojęcie mnożenia dziesiętnego „$k\times 10m$”.

Będę odtąd mówił „liczba”, zamiast „bezwzględna liczba całkowita”. Sumę dziesiętną dwu liczb $m,n$ obliczamy pisząc nazwę liczby $m$ w systemie dziesiętnym, dalej bezpośrednio (na prawo) nazwę w tymże systemie liczby $n$, całość otrzymana jest nazwą liczby ($m+10n$).

Np.:

Sumację dziesiętną i mnożenie dziesiętne określa się rekurencyjnie tak samo, jak zwykłą sumację i zwykłe mnożenie przy pomocy dodawania. Mamy więc np.:

Rezultat sumacji dziesiętnej ciągu: $1,2,3,=123$

Argumenty dodawania dziesiętnego nazywam składnikami dziesiętnemi. (Precyzyjne definicje omawianych terminów podaję w przypisach). (6) Wśród liczb wyróżnię teraz pewne dla naszych celów szczególnie interesujące, mianowicie, liczby puste i liczby niepuste.

Liczba pusta typu $m$-tego, obszaru $k$-tego $=\left(4\times 10m\right)+10k$, gdzie $m∕1,2,3,4,\dots k∕0,1$.

Przykłady liczb pustych:

Liczba niepusta typu 1-ego, obszaru 0-wego $=50$.

Liczba niepusta typu 1-ego, obszaru 1-ego $=51$.

Weźmy pod uwagę ciąg $U$ dowolny, ale spełniający wszystkie warunki następujące:

1)

$U$ jest ciągiem rosnącym (nietylko niemalejącym) lub jest ciągiem o jednym tylko wyrazie,

2)

każdy wyraz ciągu $U$ jest liczbą pustą typu $k$, obszaru $m$, lub liczbą niepustą tegoż typu i obszaru,

3)

$U$ ma tylko induktywną, lecz większą od $0$ ilość wyrazów.

Wykonajmy sumację dziesiętną na ciągu $U$, rezultat oznaczmy przez „$S$”.

Liczba $\left(5+10S\right)$ jest liczbą niepustą typu $\left(k+1\right)$-ego. obszaru $m$-tego. Uwaga: $m∕0,1$. (7).

Będę nazywał liczbami dobremi tylko liczby następujące:

1)

liczbę 0,

2)

liczbę 1,

3)

liczby puste, oraz

4)

liczby niepuste.

Przykłady liczb niepustych:

Liczbę dobrą typu przynajmniej drugiego możnaby zawsze nazwać klasą złożoną ze składników dziesiętnych tej liczby, posiadających typ o jedność niższy niż ta liczba.

Np.: Liczbę dobrą $54151$ możnaby nazwać klasą złożoną z liczb: $41$ oraz $51$.

Liczbę $0$ będę też nazywał liczbą dobrą typu $O$-wego, obszaru $0$-wego.

Liczbę $1$ będę też nazywał liczbą dobrą typu $0$-wego, obszaru $1$-ego. Określam teraz inkluzję dwu liczb dobrych („$a\subset b$”).

1)

$\left(0\subset 0\right)=50$,

2)

$\left(1\subset 1\right)=50$,

3)

przypuśćmy, że $a$ jest liczbą tego samego typu i obszaru, co $b$, odróżniamy teraz 3 przypadki następujące:

(A)

$a$ jest liczbą pustą, wtedy $\left(a\subset b\right)=50$,

(B)

$a$ posiada tylko takie składniki dziesiętne o jeden typ niższe od $a$, które są zarazem składnikami dziesiętnemi liczby $b$, wtedy $\left(a\subset b\right)=50$,

(C)

nie zachodzi ani (A), ani (B), wtedy $\left(a\subset b\right)=40$,

4)

we wszystkich pozostałych wypadkach: $\left(a\subset b\right)=2$.

Uwaga: Przy pomocy inkluzji liczb można zbudować wiele funkcyj stałych (dla wszelkich dopuszczonych podstawień, równych liczbie $50$), które zewnętrznie niczem się nie różnią od tez prawdziwych teorji dedukcji, czy algebry klas.

Określam jeszcze jedno działanie dwumienne: jedność typikalna liczb dobrych („$a\mathrm{\text{T}}b$”).

1)

Jeśli $a$ jest tego samego typu i obszaru, co liczba $b$, to

$$\left(a\mathrm{\text{T}}b\right)=50,$$

2)

w pozostałych wypadkach:

$$\left(a\mathrm{\text{T}}b\right)=2.$$

Muszę jeszcze określić na gruncie arytmetyki pewną funkcję o argumencie funkcyjnym (ciągowym) (8): klasa liczb $a$ zbudowana z ciągu $U\left(a\right)$.

Przedtem musimy wyróżnić pewne ciągi liczbowe, które nazywam ciągami zbiorotwórczemi. Ciągi te przypisują liczbom dobrym danego typu i obszaru odpowiednik Prawdy, lub odpowiednik Fałszu. (9).

Weźmy teraz pod uwagę dowolny ciąg zbiorotwórczy $U\left(a\right)$. Możemy niekiedy zbudować ciąg jednowyrazowy, lub rosnący (nietylko niemalejący!), który przyporządkowuje liczbom całkowitym tylko te liczby dobre, którym ciąg $U\left(a\right)$ przypisuje liczbę $50$, nowy ten ciąg (jeśli się daje zbudować) oznaczamy:

Przypuśćmy, że istnieje ciąg

wtedy przyjmujemy, że

w przeciwnym razie, przyjmujemy, że

Przypuśćmy teraz, że ciąg $U$ nie jest zbiorotwórczy, w takim razie przyjmuję, że

Przyjmuję następujące definicję:

1.

Negacja pseudo-zdaniowa $\sim \left(p\right){=}_{\mathrm{\text{Df}}}\left(p\subset 40\right)$.

2.

Wyłączanie pseudo-zdaniowe $\left(p|q\right){=}_{\mathrm{\text{Df}}}\left(p\subset \sim \left(q\right)\right)$.

3.

Mnożenie pseudo-zdaniowe $\left(p.q\right){=}_{\mathrm{\text{Df}}}\sim \left(p|q\right)$.

4.

Izos liczby dobrej $\text{ı}\left(a\right){=}_{\mathrm{\text{Df}}}K{l}_b\left[\left(b\subset a\right).\left(a\subset b\right)\right]$.

5.

Przynależność liczby dobrej $a$ do liczby dobrej $b$

$$\left(a𝜖b\right){=}_{\mathrm{\text{Df}}}\left[\text{ı}\left(a\right)\subset b\right].$$

6.

Wyłączanie liczb dobrych $\left(a\nabla b\right){=}_{\mathrm{\text{Df}}}K{l}_c\left[\left(c𝜀a\right)|\left(c𝜀b\right)\right]$.

7.

Liczba pełna zawierająca liczbę $a$, $V\left(a\right){=}_{\mathrm{\text{Df}}}\left[a\nabla \left(a\nabla a\right)\right]$.

Podam teraz najważniejszą definicję niniejszego referatu:

Określam funkcję o trzech argumentach „$\bigsqcup \left(a,b,c\right)$”:

1)

przypuśćmy, że $\left(b\mathrm{\text{T}}c\right)=50$, wtedy

$$\bigsqcup \left(p,b,c\right)=\left[V\left(b\right)\subset \left(b\nabla c\right)\right],$$

2)

przypuśćmy, że $\left(a\mathrm{\text{T}}b\right)=50$, $\left(b\mathrm{\text{T}}c\right)=50$ i że $\left(a\mathrm{\text{T}}p\right)=2$, wtedy

$$\bigsqcup \left(a,b,c\right)=\left(b\nabla c\right),$$

3)

w pozostałych przypadkach

$$\bigsqcup \left(a,b,c\right)=2.$$

Ostatnio zdefinjowaną funkcję nazywam ogólnem wyłączaniem liczb dobrych.

§ 6. Podaję następującą interpretację całkowito-liczbową funkcji „$\widehat{n}\square \left(a,b,c\right)$”:

1)

„$\widehat{n}\square \left(a,b,c\right)$” interpretuję jako „$\bigsqcup \left(a,b,c\right)$”,

2)

„$\widehat{n}\square \left(p,\widehat{n},c\right)$” interpretuję jako „$K{l}_b\left[\bigsqcup \left(p,b,c\right)\right]$”,

3)

„$\widehat{n}\square \left(p,b,\widehat{n}\right)$” interpretuję jako „$K{l}_c\left[\bigsqcup \left(p,b,c\right)\right]$”,

4)

„$\widehat{n}\square \left(p,\widehat{n},\widehat{n}\right)$” interpretuję jako „$K{l}_b\left[\bigsqcup \left(p,b,b\right)\right]$”.

To przyporządkowanie terminów logicznych terminom arytmetycznym nazywam interpretacją $H$.

Podaję następującą interpretację całkowito-liczbową terminów dotychczas powszechnie uznanych za terminy pierwotne logiki:

Uwaga. Zmienne: $p,q$ występujące po lewej stronie powyższej tablicy są zdaniowe, po prawej – pseudo-zdaniowe.

To przyporządkowanie terminów logicznych – arytmetycznym nazywam interpretacją $H^{\prime }$.

Oznaczmy przez „$H\bigsqcup H^{\prime }$ sumę (w sensie teorji stosunków) interpretacyj $H$ oraz $H^{\prime }$. Okazuje się, że w tej nowej interpretacji przechodzą:

1.

Dyrektywy budowania wyrażeń sensownych logiki – w dyrektywy budowania symboli liczb dobrych.

2.

Dyrektywy budowy tez prawdziwych logiki – w dyrektywy budowania symboli liczby 50.

3.

Aksjomaty teorji dedukcji, teorji kwantyfikatorów, teorji indywiduów w symbole liczby 50.

4.

Zdania, przy pomocy których określiłem w sposób nienominalny funkcję „$\widehat{n}\square \left(a,b,c\right)$,” – także w symbole liczby $=50$.

5.

Fałszywe tezy logiki – w symbole liczby 40.

Wiemy już teraz, że bez narażenia się na sprzeczność wprowadzić można do logiki określenie funkcji „$\widehat{n}\square \left(a,b,c\right)$”. (10).

§ 7. Pozostaje jeszcze jedna sprawa do zreferowania. W jaki sposób przy pomocy uogólnionego wyłączania zdefinjowałem nominalnie pozostałe terminy logiki (uproszczonej)?

Zaznaczam z naciskiem, że nie budowałem definicyj „na oślep”, tylko miałem przed sobą pewien wzór, który naśladowałem. Wzorowałem się na układzie definicyj teorji dedukcji opartej na Shefferowskiem wyłączaniu. Przy pomocy Shefferowskiego wyłączania definjuje się negację zdaniową, implikację zdaniową, iloczyn zdaniowy i t. d. Ja zaś przy pomocy uogólnionego wyłączania (którego szczególnym przypadkiem jest wyłączanie Sheffera) zdefinjowałem :

1)

uogólnioną negację (której szczególnemi przypadkami są: negacja zdaniowa, uzupełnienie klasy, uzupełnienie indywiduum),

2)

uogólnioną inkluzję (której szczególnemi przypadkami są: implikacja zdaniowa, zawieranie się klas, zawieranie się indywiduów),

3)

uogólniony iloczyn (którego szczególnemi przypadkami są: iloczyn zdań, iloczyn klas, iloczyn indywiduów).

Podaję teraz explicite moje definicje:

Przy pomocy zdań określających uogólnione wyłączanie łatwo dojść do wniosku, że

1.

„$\widehat{n}\square \left(p,p,q\right)$” znaczy: nie $-p$, lub nie $-q$,

2.

„$\widehat{n}\subset \left(p,p,q\right)$” znaczy: jeżeli $p$, to $q$,

3.

„$\widehat{n}\subset \left(p,\alpha ,\beta \right)$” znaczy: klasa $\alpha$ jest zawarta w klasie $\beta$,

4.

„$\widehat{n}\subset \left(p,x,y\right)$” znaczy: indywiduum $x$ jest zawarte w indywiduum $y$,

5.

„$\widehat{n}\cap \left(p,p,q\right)$” znaczy: $p$ oraz $q$,

6.

„$\widehat{n}\cap \left(\alpha ,\alpha ,\beta \right)$” znaczy: iloczyn klas $\alpha$, $\beta$.

7.

„$\widehat{n}\cap \left(x,x,y\right)$” znaczy: iloczyn indywiduów, $x,y$ i t. d.

Na specjalną uwagę zasługuje funkcja „$\widehat{n}𝜀\left(p,b,f\right)$” znaczy to samo, co „$\phi \left(x\right)$”, zaś „$\widehat{n}𝜀\left(p,\widehat{n},\phi \right)$” zastępuje symbol klasowy „$\widehat{n}\left[\phi \widehat{n}\right]$”, pod warunkiem, że przyjmuje się aksjomat ekstensjonalności. (11).

(1)

Dr. Alfred Tarski w bardzo interesującej rozprawie p. t. „O wyrazie pierwotnym logistyki” (Przegl. Filozof. 1923) dowiódł, że wszystkie terminy pewnej części właściwej całości logiki matematycznej dają się zdefinjować przy pomocy znaku równoważności. Część logiki, do której się redukcja Dra Tarskiego odnosi nazywa się logistyką. Logistyka obejmuje teorję dedukcji i bada wogóle te funkcje zdaniowe, które w naszej interpretacji liczbowej przechodzą w liczby dobre obszaru 0-wego, czyli logistycznego. Dobrze jest zauważyć, że redukcja Dra Tarskiego sprowadza terminy logistyki do jednego terminu pierwotnego logistyki i do dwu terminów ogólnologicznych: „$\phi \left(u\right)$” i ogólny kwantyfikator. Przytem Dr. Tarski używa nienominalnych definicyj. Np. pisze

$$Def.\left[p\right].as\left(p\right)\equiv p$$

a nie

$$Def.as=\widehat{p}\left[\widehat{p}\right]$$

Muszę jeszcze zaznaczyć, że definicje w pracy p. Tarskiego są uważane za zdania. Ja zaś nie uważam definicyj za zdania.

(2)

Trans. Am. Math. Soc. Vol. XIV.

(3)

Jest to wadą systemu Whiteheada–Russella, że nie zawiera on algebry indywiduów, wskutek tego analogje między typami logicznemi nie są należycie uwidocznione, brak na najniższym piętrze odpowiednika teorji klas.

(4)

„Zasady Czystej Teorji Typów” (Przegl. Filozof. 1922), str. 361.

(5)

„Sur la notion de 1’ordre” Fundamenta Mathematicae, 1921.

(6)

$k$ jest jednostką dziesiętną ${=}_{\mathrm{\text{Df}}}$ przy pewnem $n,k=10^n$

$k$ jest typem dziesiętnym liczby $n{=}_{\mathrm{\text{Df}}}1$. jeśli $n=0$, to $k=10$; oraz $2$. jeśli $n\ne 0$, to $k$ jest najmniejszą jednostką dziesiętną z liczb większych od $n$.

Piszę „$T_{10}\left(n\right)$” zamiast „typ dziesiętny liczby $n$”.

Każda liczba całkowita bezwzględna posiada dokładnie jeden typ dziesiętny:

$$\begin{array}{llll}\hfill k+10l& {=}_{\mathrm{\text{Df}}}k.T_{10}\left(l\right)+l& \hfill & \\ \hfill k\times 100& {=}_{\mathrm{\text{Df}}}0,k\times 10\left(\mathrm{\text{seq}}n\right){=}_{\mathrm{\text{Df}}}\left(k\times 10n\right)+10k.& \hfill & \end{array}$$

Niech $V$ będzie ciągiem o jednym tylko wyrazie $V\left(o\right)$.

Niech $W$ będzie ciągiem o induktywnej ilości wyrazów większej od $1$. Niech „$W\circ V$” oznacza ciąg, który powstaje przez dołączenie do końca ciągu $W$ jedynego wyrazu ciągu $V$. Wtedy:

$$\begin{array}{llll}\hfill \underset{}{\sum {}_{10}}n\left[V\left(n\right)\right]& =V\left(o\right);& \hfill & \\ \hfill \underset{}{\sum {}_{10}}n\left[W\circ V\left(n\right)\right]& {=}_{\mathrm{\text{Df}}}\underset{}{\sum {}_{10}}n\left[W\left(n\right)\right]+10V\left(o\right).& \hfill & \end{array}$$

(7)

$l$ jest liczbą niepustą typu $\left(k+1\right)$-ego, obszaru $m$-tego ${=}_{\mathrm{\text{Df}}}$ istnieje taki ciąg $V$, że

1.

$V$ jest ciągiem o induktywnej ilości wyrazów,

2.

$V$ jest ciągiem jednowyrazowym, lub rosnącym (nietylko niemalejącym),

3.

jeśli $u$ jest wyrazem ciągu $V$, to, dla wszelkich takich $u$, albo $u$ jest liczbą pustą typu $k$-tego, obszaru $m$-tego, albo $u$ jest liczbą niepustą typu $k$-tego, obszaru $m$-tego,

4.

$l=5+10\underset{}{\sum {}_{10}}n\left[V\left(n\right)\right]$.

(8)

Dobrze jest zauważyć, że ciągi są to funkcje jednej zmiennej całkowito-liczbowej. Pojęcie macierzy stosowane często w teorji wyznaczników stanowi analogon do pojęcia ciągu. Macierze są to funkcje dwu zmiennych całkowito-liczbowych, nie zaś jakieś „tablice” (?), jak to się często nawet w bardzo dobrych podręcznikach teorji wyznaczników czyta

(9)

Ciągi zbiorotwórcze stanowią arytmetyczne analogon funkcyj zdaniowych.

(10)

Przypuśćmy bowiem, że logika (uproszczona) i zdania określające ogólne wyłączanie stanowią układ sprzeczny. W takim razie na gruncie tego układu można dowieść jakiegoś zdania fałszywego z zakresu logiki. W takim razie można (dzięki interpretacji $H\bigsqcup H^{\prime }$) zbudować symbol arytmetyczny liczby 40, stosując do arytmetycznych symbolów liczby 50 dyrektywy przekształcające arytmetyczne symbole liczby 50 w arytmetyczne symbole tejże liczby. A to jest niemożliwe.

(11)

Przedstawiłem zatem szkicowo redukcję terminów pierwotnych logiki uproszczonej i ekstensjonalistycznej zarazem. Wydaje mi się, że moją redukcję da się również przeprowadzić w logice nieuproszczonej, lecz ekstensjonalistycznej.

Trudności związane z przyjęciem aksjomatu ekstensjonalności usunął prof. Leśniewski (por. A. Tarski, cyt. praca str. 75).

Uważam logikę ekstensjonalistyczną nie za ogólny system logiki tylko za jeden z wielu interesujących pod-systemów ogólnej logiki. Każdy z takich pod-systemów powstaje przez dołączenie do logiki ogólnej jakiejś hypotezy lub hypotez (np. hypotezy nieskończoności, hypotezy Zermeli, hypotezy ekstensjonalności i t. d.), por. L. Chwistek „The Theory of Constructive types” Cracow 1923–25, str. 50 i następne.

Wobec tego redukcja terminów pierwotnych logiki równie intuicyjna i daleko posunięta, jak moja, oraz dająca się przeprowadzić na gruncie logiki ogólnej byłaby dla mnie czemś znacznie więcej wartościowem.